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Aufgabenstellung:

Abbildung

Gegeben ist eine aus Stäben gleicher Dehnsteifigkeit aufgebaute Brücke, die am Knoten durch eine Kraft belastet wird. Zusätzlich wird diese Brücke durch zwei Seile und (Dehnsteifigkeit , Länge ) abgespannt.

Im unbelasteten Zustand beträgt die Kraft in den Seilen Null.

Berechnen Sie die vertikale Verschiebung des Kraftangriffspunkts .

Verwenden Sie die angegebene Stab-, Seil- und Knotennummerierung.

Gegeben:

Lösungsweg:

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Die gesuchte Verschiebung des Punktes B kann in zwei Schritten berechnet werden:

  • Schritt 1: Berechnung der Lagerreaktionen
  • Schritt 2: Berechnung der Verschiebung des Punktes B

Schritt 1: Berechnung der Lagerreaktionen

Das Fachwerk ist einfach statisch unbestimmt gelagert. Die Lagerkraft im Punkt (entspricht der Seilkraft wird als statisch Überzählige betrachtet und aus folgender Bedingung bestimmt:

"0"-System:

Skizze

Abbildung

Berechnung der Lagerreaktionen:

Berechnung der Stabkräfte :

Symmetrie nutzen:

Knoten A:

Knoten D:

"1"-System:

Skizze

Abbildung

Berechnung der Lagerreaktionen

Berechnung der Stabkräfte :

Unter Ausnutzung der Symmetrie und der Regeln für Nullstäbe erkennt man:

Berechnung der Lagerreaktion im Punkt Q:

Bestimmung der statisch überzähligen Lagerreaktion Q (bzw. der Seilkraft ) aus der Kompatibilitätsbedingung :

Die übrigen Stab- und Seilkräfte, sowie die Lagerreaktionen in A und C erhält man wie folgt:

Die Stab- und Seilkräfte sind rechts in obiger Tabelle eingefügt. Die Lagerreaktionen betragen:

Schritt 2: Berechnung der Verschiebung des Punktes B

Die Berechnung der Verschiebung erfolgt mit Hilfe des Arbeitssatzes:

Um die Vertikalverschiebung von Punkt B zu ermitteln, wird das System als ein durch und belastetes statisch bestimmtes System aufgefasst!

"0"-System:

Abbildung

Die Stab- und Seilkräfte entsprechen den aus Schritt

"1"-System:

Abbildung

Die Stab- und Seilkräfte werden analog zu den aus Schritt 1 berechnet (Hier "1" Kraft, statt in Schritt 1

Berechnung der Verschiebung: 

Lösung: