Elastizitätsgesetz

Verzerrungen

Ebener Spannungszustand

Dünnwandige Druckbehälter

Zugstab

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

\begin{align} \quad \sigma_{1 n}&amp;=125 \mathrm{MPa} &amp;&amp; \tau_{1 t n}=25 \mathrm{MPa} \\ \sigma_{2 n}&amp;=144,2 \mathrm{MPa} &amp;&amp;\tau_{2 t n}=46,65 \mathrm{MPa} \\ \sigma_{3 n}&amp;=230,8 \mathrm{MPa} &amp;&amp;\tau_{3 t n}=3,35 \mathrm{MPa} \end{align}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align}
\quad \sigma_{1 n}&=125 \mathrm{MPa} && \tau_{1 t n}=25 \mathrm{MPa} \\
\sigma_{2 n}&=144,2 \mathrm{MPa} &&\tau_{2 t n}=46,65 \mathrm{MPa} \\
\sigma_{3 n}&=230,8 \mathrm{MPa} &&\tau_{3 t n}=3,35 \mathrm{MPa} 
\end{align}" style="vertical-align: -3.507ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="39.98ex" height="8.145ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2050 17671.3 3600" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3589-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-3589-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3589-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 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0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-32" transform="translate(500, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-35" transform="translate(1000, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2833.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-4D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(917, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-50"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1598, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-61"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(10275, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(10275, 0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D70F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(437, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(861, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1797.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2853.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3853.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-4D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(917, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-50"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1598, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-61"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 0)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1000, 0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(571, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2398.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-34" transform="translate(500, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-34" transform="translate(1000, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2833.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3278.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3778.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-4D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(917, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-50"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1598, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-61"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(10275, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(10275, 0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D70F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(437, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(861, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1797.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2853.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-34"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-36" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3853.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4298.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-36"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5298.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-4D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(917, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-50"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1598, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-61"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1300)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1000, 0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(571, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2398.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-33" transform="translate(500, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-30" transform="translate(1000, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2833.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3278.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-38"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3778.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-4D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(917, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-50"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1598, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-61"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(10275, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(10275, 0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D70F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(437, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(861, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1797.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2853.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3353.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3798.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-33"></use><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4798.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-4D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(917, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-50"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1598, 0)"><use xlink:href="#MJX-3589-TEX-N-61"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Für die Spannungskomponenten senkrecht und parallel zur Schnittebene gilt:

\[\begin{align} \sigma_{n}&amp;=\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \cos (2 \phi)+\tau_{x y} \sin (2 \phi) \\ \tau_{t n}&amp;=-\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \sin (2 \phi)+\tau_{x y} \cos (2 \phi) \end{align}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align}
\sigma_{n}&=\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \cos (2 \phi)+\tau_{x y} \sin (2 \phi) \\
\tau_{t n}&=-\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right) \sin (2 \phi)+\tau_{x y} \cos (2 \phi)
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Mit \(\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)=175 \mathrm{MPa} \) und \(\frac{1}{2}\left(\sigma_{x}-\sigma_{y}\right)=-25 \mathrm{MPa} \) folgt mit den jeweiligen Winkeln:

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data-mml-node="mo" transform="translate(3604.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3585-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5064.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-3585-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6120.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3585-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6898.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3585-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-3585-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(7898.5, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3585-TEX-N-4D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(917, 0)"><use xlink:href="#MJX-3585-TEX-N-50"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1598, 0)"><use xlink:href="#MJX-3585-TEX-N-61"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> folgt mit den jeweiligen Winkeln:

\begin{aligned} \phi=45^{\circ} &amp; : \\ \sigma_{n} &amp;=175 \mathrm{MPa}-25 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(90^{\circ}\right)-50 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(90^{\circ}\right)=125 \mathrm{MPa} \\ \tau_{t n} &amp;=25 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(90^{\circ}\right)-50 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(90^{\circ}\right)=25 \mathrm{MPa} \end{aligned}

\begin{aligned} \phi=60^{\circ} &amp; : \\ \sigma_{n}&amp;=175 \mathrm{MPa}-25 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(120^{\circ}\right)-50 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(120^{\circ}\right)=144,2 \mathrm{MPa} \\ \tau_{t n}&amp;=25 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(120^{\circ}\right)-50 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(120^{\circ}\right)=46,65 \mathrm{MPa} \end{aligned}

\begin{aligned} \phi=120^{\circ} &amp; : \\ \sigma_{n}&amp;=175 \mathrm{MPa}-25 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(240^{\circ}\right)-50 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(240^{\circ}\right)=230,8 \mathrm{MPa} \\ \tau_{t n}&amp;=25 \mathrm{MPa} \cdot \sin \left(240^{\circ}\right)-50 \mathrm{MPa} \cdot \cos \left(240^{\circ}\right)=3,35 \mathrm{MPa} \end{aligned}

Der Spannungszustand in einem Punkt wird durch die folgenden Spannungen beschrieben:
\begin{align} \quad \sigma_{x}&amp;=150 \mathrm{MPa} \\
\sigma_{y}&amp;=200 \mathrm{MPa}  \\
\tau_{x y}&amp;=-50 \mathrm{MPa} \end{align}
 
Ermitteln Sie die Normalspannung und die Schubspannung in Schnittebenen, deren Normalenvektoren mit der \( x \) -Achse die Winkel \( \phi_{1}=45^{\circ}, \ \phi_{2}=60^{\circ} \) und \( \phi_{3}=120^{\circ} \) einschließen.

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Ebener Spannungszustand mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Ebene Elastizitätstheorie - Ebener Spannungszustand | Aufgabe mit Lösu

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: