Elastizitätsgesetz

Verzerrungen

Ebener Spannungszustand

Dünnwandige Druckbehälter

Zugstab

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

<p>\begin{align}<br />\quad t_{1 x}=70,71 \mathrm{MPa}, \quad  t_{1 y}=106,1 \mathrm{MPa} \\ <br />t_{2 x}=68,30 \mathrm{MPa}, \quad t_{2 y}=111,6 \mathrm{MPa} \\<br />t_{3 x}=18,30 \mathrm{MPa}, \quad t_{3 y}=61,60 \mathrm{MPa} <br />\end{align}</p>

<p>Für die Komponenten des Spannungsvektors gilt allgemein für die $x$ und $y$ Richtung</p>


<p>Für die Komponenten des Spannungsvektors gilt allgemein für die <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3570-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3570-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3571-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3571-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Richtung</p>


<p>\begin{align}<br />\quad t_{x}&amp;=\sigma_{x} \cos (\phi)+\tau_{x y} \sin (\phi) \\</p>
<p>t_{y}&amp;=\tau_{x y} \cos (\phi)+\sigma_{y} \sin (\phi) <br />\end{align}</p>


<p>Bestimme die Komponenten für $\phi_{1}=45^{\circ}, \phi_{2}=60^{\circ} \) und \( \phi_{3}=120^{\circ}$ durch einsetzen:</p>


<p>Bestimme die Komponenten für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\phi_{1}=45^{\circ}, \phi_{2}=60^{\circ} " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.914ex" height="2.088ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -718 7918 923" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3573-TEX-I-1D719" d="M409 688Q413 694 421 694H429H442Q448 688 448 686Q448 679 418 563Q411 535 404 504T392 458L388 442Q388 441 397 441T429 435T477 418Q521 397 550 357T579 260T548 151T471 65T374 11T279 -10H275L251 -105Q245 -128 238 -160Q230 -192 227 -198T215 -205H209Q189 -205 189 -198Q189 -193 211 -103L234 -11Q234 -10 226 -10Q221 -10 206 -8T161 6T107 36T62 89T43 171Q43 231 76 284T157 370T254 422T342 441Q347 441 348 445L378 567Q409 686 409 688ZM122 150Q122 116 134 91T167 53T203 35T237 27H244L337 404Q333 404 326 403T297 395T255 379T211 350T170 304Q152 276 137 237Q122 191 122 150ZM500 282Q500 320 484 347T444 385T405 400T381 404H378L332 217L284 29Q284 27 285 27Q293 27 317 33T357 47Q400 66 431 100T475 170T494 234T500 282Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-2218" d="M55 251Q55 328 112 386T249 444T386 388T444 249Q444 171 388 113T250 55Q170 55 113 112T55 251ZM245 403Q188 403 142 361T96 250Q96 183 141 140T250 96Q284 96 313 109T354 135T375 160Q403 197 403 250Q403 313 360 358T245 403Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-3573-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-I-1D719"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(596, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1277.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2333.1, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-34"></use><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1000, 404.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-2218"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3736.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4181.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-I-1D719"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(596, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5458.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6514.4, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-36"></use><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-30" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1000, 393.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3573-TEX-N-2218"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \phi_{3}=120^{\circ}" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.585ex" height="2.063ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -707 4236.7 912" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3574-TEX-I-1D719" d="M409 688Q413 694 421 694H429H442Q448 688 448 686Q448 679 418 563Q411 535 404 504T392 458L388 442Q388 441 397 441T429 435T477 418Q521 397 550 357T579 260T548 151T471 65T374 11T279 -10H275L251 -105Q245 -128 238 -160Q230 -192 227 -198T215 -205H209Q189 -205 189 -198Q189 -193 211 -103L234 -11Q234 -10 226 -10Q221 -10 206 -8T161 6T107 36T62 89T43 171Q43 231 76 284T157 370T254 422T342 441Q347 441 348 445L378 567Q409 686 409 688ZM122 150Q122 116 134 91T167 53T203 35T237 27H244L337 404Q333 404 326 403T297 395T255 379T211 350T170 304Q152 276 137 237Q122 191 122 150ZM500 282Q500 320 484 347T444 385T405 400T381 404H378L332 217L284 29Q284 27 285 27Q293 27 317 33T357 47Q400 66 431 100T475 170T494 234T500 282Z"></path><path id="MJX-3574-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-3574-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3574-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3574-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-3574-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-3574-TEX-N-2218" d="M55 251Q55 328 112 386T249 444T386 388T444 249Q444 171 388 113T250 55Q170 55 113 112T55 251ZM245 403Q188 403 142 361T96 250Q96 183 141 140T250 96Q284 96 313 109T354 135T375 160Q403 197 403 250Q403 313 360 358T245 403Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3574-TEX-I-1D719"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(596, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3574-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1277.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3574-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2333.1, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3574-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-3574-TEX-N-32" transform="translate(500, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-3574-TEX-N-30" transform="translate(1000, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1500, 393.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3574-TEX-N-2218"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> durch einsetzen:</p>


<p>\begin{aligned} <br />\phi=45^{\circ} &amp; : \\ t_{x} &amp;=50 \mathrm{MPa} \cos \left(45^{\circ}\right)+50 \mathrm{MPa} \sin \left(45^{\circ}\right)=70,71 \mathrm{MPa} \\ <br />t_{y} &amp;=50 \mathrm{MPa} \cos \left(45^{\circ}\right)+100 \operatorname{MPa} \sin \left(45^{\circ}\right)=106,1 \mathrm{MPa}<br />\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned} <br />\phi=60^{\circ} &amp; : \\ t_{x} &amp;=50 \mathrm{MPa} \cos \left(60^{\circ}\right)+50 \mathrm{MPa} \sin \left(60^{\circ}\right)=68,30 \mathrm{MPa} \\ <br />t_{y} &amp;=50 \mathrm{MPa} \cos \left(60^{\circ}\right)+100 \operatorname{MPa} \sin \left(60^{\circ}\right)=111,6 \mathrm{MPa}<br />\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}  <br />\phi=120^{\circ} &amp; : \\ t_{x} &amp;=50 \mathrm{MPa} \cos \left(120^{\circ}\right)+50 \operatorname{MPa} \sin \left(120^{\circ}\right)=18,30 \mathrm{MPa} \\ <br />t_{y} &amp;=50 \mathrm{MPa} \cos \left(120^{\circ}\right)+100 \mathrm{MPa} \sin \left(120^{\circ}\right)=61,60 \mathrm{MPa} \end{aligned}</p>


<p>Der Spannungszustand in einem Punkt wird durch die folgenden Spannungen beschrieben:<br />\[\quad \sigma_{x}=50 \mathrm{MPa}\]</p>
<p>\[\quad \sigma_{y}=100 \mathrm{MPa}\]</p>
<p>\[\quad \tau_{x y}=50 \mathrm{MPa}\]</p>
<p>Geben Sie die Komponenten des Spannungsvektors auf Schnitten an, deren Normalenvektoren mit der $ x $ -Achse die Winkel $ \phi_{1}=45^{\circ}, \phi_{2}=60^{\circ} $ und $ \phi_{3}=120^{\circ} $ einschließen. Stellen Sie die Schnitte und die Spannungsvektoren anschließend jeweils graphisch dar.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Ebener Spannungszustand mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Ebene Elastizitätstheorie - Ebener Spannungszustand | Aufgabe mit Lösu

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: