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Aufgabenstellung:

Gegeben ist eine Anordnung aus zwei konzentrisch gewickelen Luftspulen mit kreisförmigem Querschnitt und gleicher Länge Spule 1 hat einen Wicklungsradius von und ist mit 1000 Windungen Kupferblockdraht des Querschnittes bewickelt. Spule 2 hat einen Wicklungsradius von und ist mit 5000 Windungen des Querschnittes umwickelt.

  1. Beide Spulen werden in gleicher Richtung von einem Gleichstrom durchflossen. Berechnen Sie die magnetische Feldstärke und die magnetische Induktion innerhalb und außerhalb der Spulen mit den für lange Zylinderspulen üblichen Näherungen.
  2. Bestimmen Sie die Selbstinduktion und die Gegeninduktion der Anordnung! Leiten Sie zunächst allgemein die Beziehungen zur Ermittlung von Selbst- und Gegeninduktivität her.

 

 

 

Abbildung: Querschnitt durch die Spulenanordnung 

Abbildung

 

Lösungsweg:

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Aufgabenteil a:

Vorgehensweise: 

  1. Festlegen der zu nutzenden Näherungen
  2. Bestimmen der magnetischen Feldstärke der Spulen
  3. Betrachten der einzelnen Raumgebiete
  4. Herleitung der Formel für die Selbstinduktivität

Näherungen

  1. Aus dieser Näherung folgt, dass das Induktionsfeld im inneren der Spule näherungsweise homogen ist.
  2. Vernachlässigung von Streufeldern: Streufelder treten nur an den Rändern auf. Sie können aufgrund der ersten Näherung als klein gegenüber dem Feld im Inneren der Spule angesehen und somit vernachlässigt werden.
  3. Die magnetischen Feldlinien teilen sich im Außenraum der Spule bis ins Unendliche auf. Die Feldstärke im einzelnen kleinen Raumelement ist daher Null.
  4. Konstantes Feld im Innenraum der Spule
  5. Leiterdurchmesser

Allgemeine Berechnung der magnetischen Feldstärke einer Spule
Das allgemeine Durchflutungsgesetz lautet:

Wir können hier den Weg wie in der Abbildung gezeigt, in 4 Teilwege zerlegen. Diese Wege können dann einzeln integriert werden. Der Weg bildet hier mit dem Strom durch die Spule ein Rechtssystem. Wir erhalten somit die folgenden Integrale:

Da im Außenraum die magnetische Feldstärke laut der Näherungen verschwindet, gilt

Abbildung Integrationsweg: Stromrichtung und Umlaufweg ergeben ein Rechtssystem

Abbildung

Für den Innenraum ergeben sich somit die Gleichungen:

Berechnung des Feldes der Spulen

Spule 1

Zahlenwerte: Windungen, .

Spule 2

Zahlenwerte:

Betrachtrung der einzelnen Raumgebiete

Im Innern beider Spule überlagern sich die Felder. Es kann die einfache Addition verwendet werden, da beide Felder gleichgerichtet sind.

II: :

in diesem Raumgebiet wirkt lediglich das Feld der äußeren Spule, da das Feld der inneren Spule aufgrund der o. a. Näherungen vernachlässigt werden kann.

III: :

Aufgrund der o. a. Näherungen verschwindet das Feld in diesem Bereich.

Aufgabenteil b:

Allgemeine Herleitung der Formel zur Berechnung der Selbst- und Gegeninduktivität


Zunächst muss eine Klärung des Begriffs stattfinden: Die Induktivität bezeichnet die Induktivität der Spule , wenn Spule aktiv (also flusserzeugend) ist. Wenn bedeutet das daher: Induktivität der Spule, wenn sie selbst aktiv ist Selbstinduktivität. Wenn ist die jeweils andere Spule flusserzeugend Gegeninduktivität.

Selbstinduktivität

ist bereits über das Durchflutungsgesetz im ersten Aufgabenteil berechnet zu:

Nun lassen sich die Werte ,rückwärts " berechnen.

Gegeninduktvität

Da sich in diesem Fall die Spule 2 vollständig innerhalb der Spule 1 befindet, ist der Fluss der kleineren Spule vollständig mit dem Fluss der größeren verkoppelt. Es gibt also keinen Fluss, der zwar in Spule 2 ist, aber nicht in Spule Daher gilt

In Zahlenwerten:

Lösung:

Aufgabenteil a:

 

Für Näherungen siehe Lösungsweg


Aufgabenteil b: