Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)

Theorie:

Eigenwerte, Eigenräume und Eigenvektoren

Um die Eigenwerte, Eigenvektoren oder Eigenräume einer Matrix zu berechnen, gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Eigenwerten, Räume und Vektoren

Bestimme das charakteristische Polynom von über . Ziehe dazu jeweils ein von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.
Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit
Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.
Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.

Die Eigenwerte und Vektoren brauchst du z.B. um eine Matrix zu diagonalisieren.

Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen.

Definition

Partielle Ableitung

Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.

Vorgehen

Partiell ableiten

Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.
Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.

Notation
Wenn du die Funktion nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Wenn du die Funktion zweimal nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Man nennt das eine Ableitung 2. Ordnung.
Wenn du erst nach und dann nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Auch das ist eine Ableitung 2. Ordnung. Nach welchen Variablen abgeleitet wird, ist also für die Namensgebung egal.

Hinweis

Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also

Anwendungen der partiellen Ableitung:

Extremwertberechnung in höheren Dimensionen
Gradientenberechnung
Talorreihen
Ableitungen von impliziten Funktionen

Hier ein paar Beispiele:
Wir betrachten die Funktion :

Mehrdimensionale Extrema mit Nebenbedingungen

Um Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen unter Nebenbedingungen zu finden, kann man zwei verschiedene Verfahren anwenden.

Vorgehen

1. Verfahren: Einsetzen der Nebenbedingung

Stelle alle Nebenbedingungen so um, dass du alle vorkommenden Variablen durch eine Variable ausdrücken kannst. In Abhängigkeit welcher der Variablen du die anderen Veränderlichen ausdrückst, ist dabei egal.
Setze diese Variablen nun in deine Zielfunktion ein, sodass die Zielfunktion nur noch von einer Veränderlichen abhängt
Finde jetzt die Extremstellen der Zielfunktion mit den eingesetzten Variablen und bestimme - falls gefragt - deren Art.
Um die Extremwerte der ersetzten Variablen zu finden musst du jetzt noch deine gefundenen Extremwerte in die gegebenen Nebenbedingungen einsetzen.

Hinweis:

Dieses Verfahren kannst du nur anwenden, wenn sich die Nebenbedingungen eindeutig umstellen lassen. Eine Nebenbedingung, wie beispielsweise kann nicht eindeutig nach umgestellt werden, da durch das Ziehen der Wurzel eine negative und eine positive Lösung entsteht. Auch Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen lassen sich also nicht mit diesem Verfahren lösen.

Vorgehen

2. Verfahren: Lagrange Optimierungsverfahren

Stelle zunächst alle gegebenen Nebenbedingungen nach um, sodass sie die Form haben.
Multipliziere alle Nebenbedingungen jeweils mit einem Parameter und addiere diese zu deiner Zielfunktion . Das ergibt die sogenannte Hilfsfunktion (Lagrange-Funktion).
In zwei Variablen und mit einer Nebenbedingung sieht die Lagrange-Funktion so aus:
Im nächsten Schritt leitest du die Hilfsfunktion partiell nach jeder vorkommenden Variable, also nach und ab.
Wenn du nun all diese partiellen Ableitungen gleich setzt, ergibt sich ein Gleichungssystem, bestehend aus allen partiellen Ableitungen. Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert dir die gesuchten Extremstellen.
Um nun die Art der jeweiligen Extremstelle anzugeben, stellst du die geränderte Matrix der Lagrange-Funktion auf. Die geränderte Matrix ist die Hesse-Matrix, allerdings mit als erster Variable.
In zwei Variablen und mit einer Nebenbedingung sieht diese Matrix grundsätzlich so aus:

Unter Verwendung von und des Satzes von Schwarz solltest du auf folgende Matrix kommen:

Hinweis: Falls es nur zwei Variablen und eine Nebenbedingung gibt, genügt es, die normale Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion zu betrachten.
Wenn du nun die Art einer Extremstelle bestimmen willst, betrachtest du die Hauptminoren , für der geränderten Matrix an deiner Extremstelle:
- negativ und weitere Hauptminoren alternieren: Minimum (positive Definitheit).
- positiv und weitere Hauptminoren alternieren: Maximum (negative Definitheit).

Satz von Schwarz

Der Satz von Schwarz (auch Young-Theorem genannt) wird wichtig, wenn es um partielle Ableitungen höherer Ordnung geht. Er sagt aus, dass bei Funktionen mehrerer Variablen, die mehrfach stetig differenzierbar sind, die Reihenfolge der Durchführung der einzelnen partiellen Ableitungen keinen Unterschied für das Ergebnis macht.

Definition

Satz von Schwarz

Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:

Ganz mathematisch lautet der Satz so:

Sei in einer Umgebung des Punktes stetig. Außerdem sollen die partiellen Ableitungen und in existieren und in stetig sein.

Der Satz von Schwarz besagt jetzt, dass unter diesen Bedingungen auch die partielle Ableitung in existiert und es gilt:

( und sind hier einfach beliebige Variablen, von denen die Funktion abhängt.)

Hinweis

Der Satz von Schwarz lässt sich auf beliebig viele Variablen ausweiten.

Beispielsweise gilt also für die Funktionen und

wenn die Bedingungen erfüllt sind.

Definitheit von Matrizen

Die Definitheit ist eine Eigenschaft, welche einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Die Definitheit einer Matrix zu kennen, ist sowohl in der Physik als auch in der Mathematik oft sehr wichtig. Ein Beispiel sind die Extremwertaufgaben im mehrdimensionalen Raum. Falls z.B. die Hesse-Matrix einer Funktion an einem kritischen Punkt positiv definit ist, so weisst du das in diesem Punkt ein lokales Minimum besitzt.

Kategorisierung:

Bei der Frage nach der Definitheit werden insgesamt 5 Arten unterschieden, die formal über die folgende Definition festegelegt sind:

Definition

Definitheit einer Matrix

Sei ein beliebiger n-zeiliger Spaltenvektor mit . Eine quadratische Matrix heißt:

positiv definit	falls
positiv semidefinit	falls
negativ definit	falls
negativ semidefinit	falls
indefinit	falls weder positiv noch negativ (semi-)definit

Bestimmen der Definitheit:

Um die Definitheit einer Matrix zu bestimmen gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Die beiden bekanntesten sind das Hauptminorantenkriterium und die Eigenwertmethode. Bei ersterem erfolgt die Berechnung über die Hauptminoren der Matrix und bei der Eigenwertmethode über die Bestimmung der Eigenwerte.

Die Entscheidung, welches Verfahren sich im einzelnen anbietet liegt daran, ob du nur Informationen über positiv/negativ Definitheit suchst oder auch über semidefinit und indefinit. Merke dir hierfür:

Hinweis

Willst du lediglich untersuchen ob eine Matrix positiv oder negativ Definit ist, so nutze das Hauptminorantenkriterium.
Ist zusätzlich interessant ob die Matrix semidefinit/undefinit ist, so nutze die Eigenwertmethode.

Mehrdimensionale Extremstellen

Das Bestimmen von Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen funktioniert ganz ähnlich wie bei eindimensionalen Funktionen. Du musst zunächst die kritischen Stellen finden, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmst. Dann kannst du mithilfe der zweiten Ableitung die Art der gefundenen Extrema bestimmen.

Vorgehen

Mehrdimensionale Extremstellen

Bestimme den Gradienten von der Funktion .
Setze jede Zeile des Gradienten gleich und löse das entstandene Gleichungssystem. Die Lösungen liefern dir die kritischen Punkte.
Berechne die Hesse-Matrix von .
Setze deine kritischen Punkte in ein und bestimme jeweils die Definitheit dieser Matrix:
- positiv definit: Minimum
- negativ definit: Maximum
- indefinit: Sattelpunkt
- positiv semidefinit: Minimum oder Sattelpunkt
- negativ semidefinit: Maximum oder Sattelpunkt

Wenn noch nach der Unterscheidung von lokalen und globalen Extrema gefragt ist, dann beachte:

Falls die berechnete Hesse-Matrix schon vor dem Einsetzen der Werte nicht mehr von den Veränderlichen abhängt, dann ist der entsprechende kritische Punkt ein globales Maximum ( negativ definit) bzw. ein globales Minimum ( positiv definit).
Ansonsten musst du noch die Randpunkte deiner gegebenen Definitionsmenge untersuchen. Das globale Minimum bzw. Maximum entspricht dann einfach den kleinsten bzw. größten Funktionswert aus lokalen Extremstellen und Randpunkten.

Ist positiv oder negativ semidefinit, lässt sich erstmal keine genauere Aussage über die Art der Extremstelle treffen, du musst also die Umgebung des kritischen Punktes betrachten.

Spezialfall:

Falls die Hesse-Matrix am kritischen Punkt der Null-Matrix entspricht, musst du die dritten partiellen Ableitungen der Funktion bilden. Falls nur eine dieser Ableitungen am kritischen Punkt ungleich Null ist, befindet sich dort ein Sattelpunkt, ansonsten lässt sich keine Aussage treffen.

Definitheitsbestimmung über Eigenwertmethode

Um eine Aussage über die Definitheit einer Matrix zu machen, können ihre Eigenwerte genutzt werden. Anders als im Falle des Hauptminorantenkriteriums bringt dies den Vorteil zusätzlich Aussagen über Semidefinitheit und Indifinitheit zu treffen.

Die Anwendung der Methode funktioniert wie folgt:

Vorgehen

Eigenwertmethode (Definitheit)

Berechne alle Eigenwerte der vorliegenden symmetrischen Matrix.

Treffe eine Aussage über die Definitheit durch Untersuchung der Vorzeichen der Eigenwerte. Dabei gilt:

positiv definit	Alle Eigenwerte von sind positiv
positiv semidefinit	Alle Eigenwerte von sind nicht negativ
negativ definit	Alle Eigenwerte von sind negativ
negativ semidefinit	Alle Eigenwerte von sind nicht positiv
indefinit	Es gibt sowohl positive als auch negative Eigenwerte