Theorie:
Existenz von partiellen Ableitungen
Sei . Ganz allgemein sagt man, dass die partielle Ableitung nach mit an der Stelle existiert, wenn gilt:
mit ist der Einheitsvektor in - Richtung.
Das sieht erstmal kompliziert aus, ist aber in der Praxis ganz einfach:
Für bedeutet diese Definition die Existenz der Tangenten in - und -Richtung (an der Stelle .
gewöhnliche Ableitung nach (bei festem )
beziehungsweise:
Die elementaren (gewöhnlichen) Funktionen besitzen in der Regel eine partielle Ableitung. Deswegen werden immer nur bestimmte (kritsche) Punkte untersucht.
Existenz der Richtungsableitung
Die Existenz der Richtungsableitung kannst du ganz ähnlich zeigen, wie die Existenz der partiellen Ableitungen. Du ersetzt dort nur dein Einheitsvektor mit dem Richtungsvektor .
Die Richtungsableitung der Funktion im Punkt in Richtung von existiert, wenn der folgende Grenzwert existiert:
Die Existenz der Richtungsableitung kannst du also ganz ähnlich zeigen, wie die Existenz der partiellen Ableitungen. Du ersetzt dort nur dein Einheitsvektor mit dem Richtungsvektor .
Totale Differenzierbarkeit
Eine Funktion mit Variablen heißt total differenzierbar in , wenn gilt:
mit und
Für gilt:
Wenn du jetzt substituierst, erhältst du analog für die totale Differenzierbarkeit:
Wenn du in einer Aufgabe herausfinden sollst, ob eine Funktion total differenzierbar ist, kannst du auch dieses Kriterium benutzen:
Falls stetig partiell differenzierbar ist, dann ist total differenzierbar.
Wir untersuchen die Funktion an der Stelle auf totale Differenzierbarkeit:
1. Überprüfe die Existenz der partiellen Ableitungen von in und berechne diese.
2. Überprüfe die berechneten partiellen Ableitungen auf Stetigkeit im Punkt .
Wenn alle partiellen Ableitungen von existieren und stetig in sind, so ist die Funktion am Punkt total differenzierbar. Wenn die Bedingungen 1. und 2. für alle Punkte gelten, ist die Funktion überall total differenzierbar.
Aufgaben:
Gegeben sei die Funktion mit:
1. Untersuche die Stetigkeit im Punkt .2. Existieren die partiellen Ableitungen in ?3. Ist im Punkt total differenzierbar?
Untersuche die Funktionn
in Bezug auf die
1. Existenz der partiellen Ableitungen
2. Existenz der Richtungsableitung in Richtung
Untersuche die Funktion
. Existenz der partiellen Ableitungen
. Existenz der Richtungsableitung in Richtung
1. Zeige: ist auf stetig.2. Untersuche die Existenz der partiellen Ableitungen in 3. Ist total differenzierbar in ?
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