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Aufgabenstellung:

Löse das folgende Anfangswertproblem für :

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Es handelt sich um eine DGL vom Riccati-Typ:

sind dabei stetig.

Hier sind:

Bestimme eine spezielle Lösung:

Setze den Ansatz und in die DGL ein:

Rechne die einzelnen Terme aus und mache einen Koeffizientenvergleich:

\alpha is only supported in math mode\begin{align*} x^{4}\text { Terme (1) : }\ \ 0  &=  \alpha^{2}-4 \alpha+4=(\alpha-2)^{2} \\ &\Leftrightarrow  \alpha=2 \\ x^{3}\text { Terme (2) : }\ \ 0&=2 \alpha \beta-4 \beta \\ &\text{ mit \alpha=2 automatisch erfüllt} \\ x^{2}\text { Terme (3) : } 2 \alpha&=-4 \gamma-\alpha+\beta^{2}+2 \alpha \gamma+6 \\ x^{1}\text { Terme (4) : }\ \ \beta  &=-\beta+2 \beta \gamma \\ &\Leftrightarrow  2 \beta(1-\gamma)=0 \\ x^{0}\text { Terme (5) : }\ \ 0 &=\quad \gamma^{2}-\gamma=\gamma(\gamma-1) \quad \\ &\Leftrightarrow \quad \gamma=0 \\ &\stackrel{(4)}{\Rightarrow} \quad \beta=0 \end{align*}

mit den Werten aus ist auch erfüllt.

Der Fall liefert und erfüllt die Gleichungen und

Bestimme die Lösungsgesamtheit mit dem Lösungsansatz für Riccati-DGLs:

Substitutiere:

Benutze eine der oben errechneten speziellen Lösungen: z.B.

Dies ist eine lineare DGL:

Löse diese lineare DGL mittels Seperation:

Alternativ geht auch mittels Lösungsformel:

Mit dem Anfangswert ergibt sich:

Die positive Lösung widerspricht dem Anfangswert. Somit ergibt sich als Lösung:

Lösung:

Definition

Form der Riccatischen DGL

Definition

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

Vorgehen

Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht

Separierbare DGL 1. Ordnung

Form:

Lösung mithilfe Trennung der Variablen:

 

Durch Substitution lösbare DGL
Form: mit
Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:

Substituiere: , somit ist
Dann ist
Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von . Die Rücksubstitution liefert dir dann

 

Lineare DGLs

Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus 
1. der allgemeinen Lösung  der zugehörigen homogenen DGL
2. der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen: 

 

Homogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Die allgemeine Lösung lautet:

, wobei und .

 

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung durch Variation der Konstanten:

, wobei und

 

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Form: , wobei
Allgemeine Lösung der homogenen DGL:

 

Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: 

  1. Wenn von der Form:
    Ansatz:

  2. Wenn von der Form: und
    Ansatz:

  3. Wenn von der Form: und
    Ansatz:

  4. Wenn von der Form:
    Ansatz:

Die allgemeine Lösung ist dann:

Vorgehen

Typen von DGLs

Triviale Differentialgleichung

Getrennte Variablen

Linear 1. Ordnung

Euler-homogen

Lineare Transformation

Gebrochen rationale Transformation

Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Bernoulli

Ricatti

Vorgehen

Allgemeine Lösung einer Riccatischen DGL bestimmen

Mit gegebener spezieller Lösung , kannst du die allgemeine Lösung folgendermaßen bestimmen:

  1. Setze die Funktion in deine Riccatische DGL ein. Nach einigem Umformen* erhältst du dann: 


  2. Jetzt hast du eine Bernoullische DGL für und .

  3. Ähnlich wie beim Lösen der Bernoulli-DGL transformierst du nun deine DGL mit und erhältst dadurch eine lineare DGL 1. Ordnung für :


  4. Löse jetzt die lineare DGL 1. Ordnung. Dadurch erhältst du eine Lösung für .

  5. Jetzt setzt du diese allgemeine Lösung für in die Transformationsgleichungen ein und transformierst zurück:

Formel

Kategorien von DGLs

gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen

Beispiel:

 

partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen

Beispiel:

 

Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung

Beispiel: (diese DGL ist 2. Ordnung).

 

lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen

Beispiel:

 

nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet

Beispiel:

 

homogene DGL: es gibt keinen Term ohne (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)

Beispiel:

 

inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne )

Beispiel:

 

explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).