Löse das folgende Anfangswertproblem für
Es handelt sich um eine DGL vom Riccati-Typ:
Hier sind:
Bestimme eine spezielle Lösung:
Setze den Ansatz
Rechne die einzelnen Terme aus und mache einen Koeffizientenvergleich:
mit den Werten aus
Der Fall
Bestimme die Lösungsgesamtheit mit dem Lösungsansatz für Riccati-DGLs:
Substitutiere:
Benutze eine der oben errechneten speziellen Lösungen: z.B.
Dies ist eine lineare DGL:
Löse diese lineare DGL mittels Seperation:
Alternativ geht auch mittels Lösungsformel:
Mit dem Anfangswert ergibt sich:
Die positive Lösung widerspricht dem Anfangswert. Somit ergibt sich als Lösung:
Definition
Definition
Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.
Vorgehen
Separierbare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
Durch Substitution lösbare DGL
Form:
Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere:
Dann ist
Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus
1. der allgemeinen Lösung
2. der partikulären Lösung
Homogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Die allgemeine Lösung lautet:
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung durch Variation der Konstanten:
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Form:
Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL:
Die allgemeine Lösung ist dann:
Vorgehen
Triviale Differentialgleichung
Getrennte Variablen
Linear 1. Ordnung
Euler-homogen
Lineare Transformation
Gebrochen rationale Transformation
Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Bernoulli
Ricatti
Vorgehen
Mit gegebener spezieller Lösung
Formel
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel:
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel:
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel:
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel:
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel:
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne
Beispiel:
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne
Beispiel:
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).