Löse das Anfangswertproblem:
Dabei sei
Rate eine spezielle Lösung
Versuche es mit einer konstanten Funktion als spezielle Lösung:
Setze
Die Gleichung soll im besten Fall für alle
Überprüfe die speziellen Lösungen durch Einsetzen in die DGL:
Für
Dies gilt für alle
Setze
Dies ist eine Bernoullische DGL.
Transformiere den Ausdruck mit
Für DGLs dieser Form gibt es eine Lösungsformel mit
Berechne
Rücktransformationen:
mit
Anfangswert
Die Lösung des AWPs ist:
für
Definition
Definition
Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.
Vorgehen
Separierbare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
Durch Substitution lösbare DGL
Form:
Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere:
Dann ist
Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus
1. der allgemeinen Lösung
2. der partikulären Lösung
Homogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Die allgemeine Lösung lautet:
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung durch Variation der Konstanten:
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Form:
Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL:
Die allgemeine Lösung ist dann:
Vorgehen
Triviale Differentialgleichung
Getrennte Variablen
Linear 1. Ordnung
Euler-homogen
Lineare Transformation
Gebrochen rationale Transformation
Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Bernoulli
Ricatti
Vorgehen
Mit gegebener spezieller Lösung
Formel
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel:
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel:
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel:
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel:
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel:
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne
Beispiel:
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne
Beispiel:
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).