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Aufgabenstellung:

Bereche die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe des Gaußverfahrens und interpretiere die Ergebnisse geometrisch als Schnitt von Ebenen im Raum:

Lösungsweg:

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1. Definiere die erweiterte Koeffizientenmatrix

2. Bring die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform

3. Bestimme die Lösungsmenge

Es gibt mehr Variablen als Zeilen, daher verwende und löse durch Einsetzen.

Interpretiere deine Lösung geometrisch:

Lösung:

Als Lösung ergibt sich die Schnittgerade der beiden Ebenen im Raum:

Vorgehen

Lineares Gleichungssystem mit Gauß lösen

  1. Schreibe die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems auf, indem du die Variablen weglässt und nur die Koeffizienten in eine Matrix schreibst.
  2. Verwende den Gauß-Algorithmus, um die erweiterte Koeffizientenmatrix in die Zeilenstufenform zu bringen. Ziehe hierfür ein vielfaches der erste Zeile von den unteren Zeilen ab, sodass bei diesen jeweils eine in der ersten Spalte entsteht. Wiederhole dieses Vorgehen nun mit der jeweils nächsten Zeile bis in der Matrix überall Nullen unter der Hauptdiagonalen stehen.
    Es kann helfen durch Zeilentausch die betragsmäßig kleinste Zahl (außer 0) in die jeweils linke obere ecke zu bringen.

  3. Bestimme die Lösungsmenge:

    • Wenn die Zeilenstufenform Dreiecksgestalt annimmt, existiert genau eine Lösung. (Anzahl der Variablen)
      Die Lösung erhälst du durch Einsetzen.

    • Wenn es eine Nullzeile in der Koeffizientenmatrix gibt, rechts im Lösungsvektor aber keine in dieser Zeile steht, kann es keine Lösung geben.
      Die Lösungsmenge ist in diesem Fall die leere Menge, also .

    • Wenn es eine Nullzeile in der erweiterten Koeffizientenmatrix oder mehr Variablen als Zeilen gibt, so existieren unendlich viele Lösungen.
      Den Lösungsraum kannst du bestimmen, indem du die , die nicht an einer Stufenkante stehen, durch einen freien Parameter (z.B. ), ersetzt.