Newton Verfahren

Anfangswertprobleme :)

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x} = 1</p>
<p>\end{align*}\]</p>

<p>Die Grenzwertform ist $(\infty - \infty)$. Bringe sie in die Form $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$:</p>


<p>Die Grenzwertform ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(\infty - \infty)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.051ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4000.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-32-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1611.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2611.4,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3611.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bringe sie in die Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(\frac{\infty}{\infty}\right)" style="vertical-align: -0.798ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.668ex" height="2.72ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 2063.1 1202.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-33-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-33-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-33-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-33-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-33-TEX-N-221E"></use></g><rect width="907.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1605.1,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-33-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>Nutze: $a^{b}=e^{\ln \left(a^{b}\right)}=e^{b \cdot \ln (a)}$</p>


<p>Nutze: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a^{b}=e^{\ln \left(a^{b}\right)}=e^{b \cdot \ln (a)}" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.409ex" height="2.373ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -966.7 8579 1048.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-34-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-34-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-34-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-34-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 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-241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-34-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1193.1,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2248.9,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(834,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-34-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1373.3,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-34-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4960.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6016.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(429,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(707,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1541,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1541,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1930,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-34-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2459,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-34-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x} &amp;= \lim _{x \rightarrow \infty} e^{\ln \left[\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}\right]} \\</p>
<p>&amp;= \lim _{x \rightarrow \infty} e^{x \cdot \ln \left[\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\right]}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Bringe den Exponenten auf die Grenzwertform $(\frac{\infty} { \infty } )$.</p>


<p>Bringe den Exponenten auf die Grenzwertform <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(\frac{\infty} { \infty } )" style="vertical-align: -0.798ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.355ex" height="2.495ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1925.1 1102.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-36-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-36-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-36-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-36-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-36-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-36-TEX-N-221E"></use></g><rect width="907.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1536.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-36-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}&amp;= \lim _{x \rightarrow \infty} e^{\frac{\ln \left[\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\right]}{\frac{1}{x}}} \\\\</p>
<p>&amp;=e^{\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left[\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\right]}{\frac{1}{x}}\right)}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Wende jetzt den Satz von l'Hospital auf den Exponenten an:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x} &amp;=e^{\left(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{x^{2}}} \cdot \frac{-2}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{-1}{x^{2}}}\right)\right)}\\</p>
<p>&amp;=e^{\left(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{x \cdot\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)}\right)\right)}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}&amp;=e^{0} \\</p>
<p>&amp;=1</p>
<p>\end{aligned}\]</p>

<p>Bestimmen Sie folgenden Grenzwert, sofern dieser existiert.</p>
<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}</p>
<p>\end{align*}\]</p>

<p>Bestimmen Sie folgenden Grenzwert, sofern dieser existiert.</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.193ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.099ex" height="5.517ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1469.3 7115.8 2438.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-31-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Regel von L`Hospital mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Regel von L`Hospital | Aufgabe mi

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: