Beispiele und Eigenschaften von Folgen

Beispiele

Konstante Folge

Eine Folge heißt konstant, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind. So ist folgende Folge konstant:

Mit lautet die allgemeine Formel einer konstanten Folge für alle .

Arithmetische Folgen

Arithmetische Folgen haben die Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. So ist die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen eine arithmetische Folge, da sie eine konstante Differenz von 2 zwischen zwei Folgengliedern besitzt:

Geometrische Folge

Bei der geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant. Dabei darf kein Folgenglied 0 sein, da man sonst kein Verhältnis zum nächsten Folgenglied bilden könnte. Ein Beispiel hierfür ist die Zahlenfolge mit dem konstanten Verhältnis 2 :

Alternierende Folgen

Bei einer alternierenden Folge ändert sich das Vorzeichen zwischen zwei Folgengliedern. Der Begriff „alternierend“ bedeutet hier „regelmäßiger Vorzeichenwechsel“. So wechselt bei der Folge der Wert immer zwischen 1 und , so dass diese Folge eine alternierende Folge ist. Ein weiteres Beispiel ist die Folge mit .

Folge der Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Folge ist eine in der Mathematik besonders populäre Folge, auf die 1202 der Mathematiker Leonardo Fibonacci in seinen Arbeiten stieß (nach ihm wurde auch diese Folge benannt). Er untersuchte das Verhalten einer Kaninchenpopulation, für die er folgende Regeln aufstellte:

1. Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen.
2. Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif.
3. Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar.
4. Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Lebensraum, so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann. Es stirbt auch kein Kaninchen.

Mischfolgen

Mischfolgen sind Verallyemeinerungen der alternierenden Folge. Aus zwei Folgen und können wir eine neue Folge bilden, bei der sich die Folgenglieder aus und abwechseln. Wir betrachten also die Folge

Ein Folgenglied mit ungeradem Index, sagen wir fur , stimmt mit dem Folgenglied der Folge überein. Und ein Folgenglied mit geradem Index, sagen wir fur , stimmt mit dem Folgenglied der Folge überein.

Um nun eine allgemeine Formel fur mit zu erhalten, unterscheiden wir, ob ungerade oder gerade ist. Ist ungerade, wählen wir , damit gilt, und erhalten . Entsprechend gilt für gerades die Formel Insgesamt gitt daher

ist dann die Mischfolge aus den Folgen und

Wenn du eine Aufgabe lösen willst, in der eine Folge durch eine Fallunterscheidung, ob ungerade oder gerade ist, definiert ist, ist diese Folge eine Mischfolge zweier Folgen mit einem einfacheren Bildungsgesetz. Prinzipiell ist aber jede beliebige Folge eine Mischfolge, und zwar aus den beiden Folgen und . Zum Beispiel ist die Folge der natürlichen Zahlen die Mischfolge aus der Folge der ungeraden Zahlen und der Folge der geraden Zahlen.

Eigenschaften und wichtige Begriffe

Beschränkte Folge

Eine Folge nennt man in der Mathematik nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die die Folgenglieder nie überschreiten. Eine solche reelle Zahl wird obere Schranke der Folge genannt („diese Zahl beschränkt die Folge von oben"). Damit ergibt sich folgende Definition einer nach oben beschränkten Folge:

ist nach oben beschränkt:

Analog ist eine Folge nach unten beschränkt, wenn sie eine untere Schranke besitzt. Es gibt also eine reelle Zahl, die die Folgenglieder nicht unterschreiten. Dementsprechend ist die untere Beschränktheit definiert mit:

ist nach unten beschränkt:

Wenn eine Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, nennt man diese Folge beschränkt. Damit haben wir die Definitionen:

Monotone Folgen

Folgen werden auch nach ihrem Wachstumsverhalten unterschieden: Werden die Folgenglieder einer Folge immer größer (also jedes nachfolgende Folgenglied ist größer als ), so nennt man diese Folge eine streng monoton wachsende Folge. Analog heißt eine Folge mit immer kleiner werdenden Folgengliedern streng monoton fallende Folge. Wenn man bei diesen Begriffen auch zulassen möchte, dass eine Folge zwischen zwei Folgengliedern konstant sein darf, nennt man die Folge monoton wachsende Folge oder monoton fallende Folge.

 Wir erhalten folgende Definition: