Rekursive Folgen

Theorie:

Rekursive Folgen

Im Gegensatz zur explizit gegebenen Zahlenfolge gibt es auch noch die rekursive Darstellung einer Folge. Bei rekursiven Folgen hängen die einzelnen Folgeglieder von dem vorangegangenen Folgenglied ab. Ein Beispiel wäre die Folge

Damit man der Folge Werte zuordnen kann, muss also auf jeden Fall das erste Folgenglied angegeben sein. In unserem Beispiel könnte man das so angeben: 

Dann wäre

 
Definition

Rekursive Folge

In der rekursiven Darstellung einer Folge wird das -te Folgenglied in Abhängikeit von mithilfe einer Funktion dargestellt: 

Auch bei rekursiven Folgen ist es oft interessant, das Konvergenzverhalten zu untersuchen. Dabei gibt es vor allem zwei Möglichkeiten:

  1. Man versucht, eine explizite Bildungsvorschrift zu finden und untersucht diese auf ihr Konvergenzverhalten.
  2. Man versucht, das Monotoniekriterium anzuwenden.
 
Vorgehen

Konvergenz rekursiver Folgen - explizite Form

  1. Berechne die ersten Folgenglieder rekursiv.
     
  2. Finde eine Zuordnungsvorschrift , indem du eine Funktion suchst, für die gilt: 


  3. Stelle eine Vermutung auf, wie aussehen könnte und beweise deine Vermutung mittels vollständiger Induktion. 

  4. Jetzt kannst du die explizite Form der Zahlenfolge mit den dir bereits bekannten Mitteln auf Konvergenz untersuchen. 
 
Vorgehen

Konvergenz rekursiver Folgen - Monotoniekriterium

Nutze aus, dass jede monoton fallende/steigende und beschränkte Folge mit dem Grenzwert konvergiert!

  1. Berechne (falls in Aufgabenstellung verlangt) den Grenzwert der Folge, unter der Annahme das dieser existiert. Konkret: Nehme dir die rekursive Bildungsvorschrift und ersetze jedes und durch den Grenzwert . Löse die entstandene Gleichung nach auf, um den Grenzwert zu erhalten.
    Hinweis: Dies funktioniert, da im unendlichen gilt:

  2. Weise die Beschränktheit der Folge mittels vollständiger Induktion nach. Als obere bzw. untere Grenze solltest du den errechneten Grenzwert und den in der Aufgabenstellung gegebene Startwert nutzen.

  3. Zeige, dass die Folge monoton steigend/fallend ist. Prüfe: 
      monoton fallend:
      oder monoton steigend:
    Nutze zum Nachweis eine äquivalente Umformung oder ggf. die vollständige Induktion.
 

Vollständige Induktion

 
Vorgehen

Vollständige Induktion

1) Induktionsanfang (IA):

Finde eine natürliche Zahl, für welche die Aussage gilt. Starte bei und erhöhe ggf. die eingesetzte Zahl, bis die Aussage zutrifft.

 

2) Induktionsvoraussetzung (IV):

Schreibe auf: "Es gibt ein für das die Aussage gilt."

 

3) Induktionsbehauptung (IB) und Induktionsschluss (IS):

Formuliere . Zeige dann durch geschicktes umformen und einsetzen der I.V. dass die Aussage gilt.

 

4) Schlusssatz:

Schreibe auf: "Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion."

 
Hinweis

Tipps zum Induktionsschluss:

 

Summen

Spalte immer zunächst das letzte Summenglied ab, um anschließend die Induktionsvoraussetzung einsetzen zu können.

 

Teilbarkeit

Nutze aus, dass jedes Produkt immer als ganzes teilbar ist, solange ein Faktor teilbar ist.

ist durch 6 teilbar!

 

Nutze ggf. die Methode der konstruktiven Null (blau), um deine I.V. zu erhalten. Es kann Helfen erst die I.V. aufzuschreiben und dann Terme zu ergänzen bis die Gleichung wieder stimmt.

 

Ableitungen

Falls von abhängig ist (z. B. ):

Schreibe zunächst , leite ab und setze anschließend die Induktionsvoraussetzung ein.

 

Falls nicht von abhängig ist (z. B. ):

Schreibe , setze sofort die Induktionsvoraussetzung ein und leite anschließend ab.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Zeige, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert und berechne den Grenzwert .

Aufgabe 2

Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert. Berechne anschließend ihren Grenzwert

Aufgabe 3

Berechne den Grenzwert und weise nach, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert.

Aufgabe 4

Zeige, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert und berechne den Grenzwert .

Aufgabe 5

Zeige, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert und berechne den Grenzwert .

Aufgabe 8

Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge beschränkt und monoton ist.

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