Gegeben sei das folgende lineare zeitinvariante System,\[ \begin{array}{l} \dot{x}(t)=A \cdot x(t)+b \cdot u(t) \\ y(t)=c \cdot x(t) \end{array} \quad \text { mit } \quad A=\left[\begin{array}{ccc} -6 &amp; 0 &amp; 0 \\ 1 &amp; 2 &amp; 0 \\ 0 &amp; 7 &amp; -3 \end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 5 \end{array}\right], \quad c=\left[\begin{array}{lll} 1 &amp; 1 &amp; 0 \end{array}\right] \]<ol style="list-style-type: lower-alpha;"><li>Beurteilen Sie die Lyapunov-Stabilität des Gleichgewichtspunktes des Systems.</li><li>Untersuchen Sie die Steuerbarkeit des Systems.</li><li>Untersuchen Sie die Beobachtbarkeit des Systems.</li></ol>

Gegeben ist das Zustandssystem \( \dot{x}=A x+B u \) mit
\[ A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha &amp; -1 &amp; 1 \\ 1 &amp; -2 &amp; 1 \\ 0 &amp; 1 &amp; -1\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll}1 &amp; 0 \\ 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; 2\end{array}\right) \]
für \( \alpha \in \mathbb{R} \).
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie alle \( \alpha \in \mathbb{R} \), so dass \( (A, B) \) steuerbar ist.</li>
<li>Bestimmen Sie für die nicht steuerbaren Fälle aus a) eine invertierbare Transformation \( T \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) so, dass</li>
</ol>
\[ T^{-1} A T=\left(\begin{array}{cc} \tilde{A}_{11} &amp; \tilde{A}_{12} \\ 0 &amp; \tilde{A}_{22} \end{array}\right), \quad T^{-1} B=\left(\begin{array}{c} \tilde{B}_{1} \\ 0 \end{array}\right) \]
mit \(  \tilde{A}_{11} \in \mathbb{R}^{r \times r}, 1 &lt; r &lt; 3 \) gilt.

Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System der Form
\[ \begin{array}{ll}\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}3 &amp; 0 \\ -5 &amp; 10\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l}6 \\ 0\end{array}\right] u, &amp; t &gt; 0, x_{0}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right] \\\\ y=\left[\begin{array}{ll}1 &amp; 2\end{array}\right] \boldsymbol{x}, \quad  t \geq 0 .\end{array} \]
Untersuchen Sie das System auf Stabilität und vollständige Steuerbarkeit. Entwerfen Sie für das System eine Zustandsrückführung \( k^{T} \) so, dass die Pole des geschlossenen Kreises bei \( \lambda_{1}^{*}=-5 \) und \( \lambda_{2}^{*}=-6 \) liegen, ohne dabei die Formel von Ackermann zu verwenden.

Steuerbarkeit

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

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Steuerbarkeit | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie