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Aufgabenstellung:

Untersuche die Funktion

 

 

in Bezug auf die

  1. Existenz der partiellen Ableitungen
  2. Existenz der Richtungsableitung in Richtung

Lösungsweg:

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1. Existenz der partiellen Ableitungen:

Im Bereich von für

ist aus Funktionen zusammensetzt, welche partiell differenzierbare Funktionen sind. Daher ist auch für partiell differenzierbar.

Im Bereich von für

Bilde den Differentialquotient in Richtung:

üü

Der Grenzwert existiert. Somit existiert die partielle Ableitung in Richtung.

Bilde den Differentialquotient in Richtung:

Es gilt hier die Symmetrie so folgt unmittelbar mit analoger Rechnung zu oben:

Somit existieren die partiellen Ableitungen von in .

2. Existenz der Richtungsableitungen:

Die Richtungsableitung der Funktion im Punkt in Richtung von , existiert, wenn der folgende Grenzwert existiert:

Im Bereich von für

ist aus Polynomen zusammensetzt, für welche die Richtungsableitung existiert. Daher besitzt auch fur eine Richtungsableitung.

Im Bereich von für bilde den Grenzwert:

Der Grenzwert existiert also.

Lösung:

1. ist im partiell differenzierbar.

2. Die Richtungsableitung in Richtung im Punkt existiert.