Mehrdimensionale Extrema mit Nebenbedingungen

Um Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen unter Nebenbedingungen zu finden, kann man zwei verschiedene Verfahren anwenden. 

 
Vorgehen

1. Verfahren: Einsetzen der Nebenbedingung

  1. Stelle alle Nebenbedingungen so um, dass du alle vorkommenden Variablen durch eine Variable ausdrücken kannst. In Abhängigkeit welcher der Variablen du die anderen Veränderlichen ausdrückst, ist dabei egal.
  2. Setze diese Variablen nun in deine Zielfunktion ein, sodass die Zielfunktion nur noch von einer Veränderlichen abhängt
  3. Finde jetzt die Extremstellen der Zielfunktion mit den eingesetzten Variablen und bestimme - falls gefragt - deren Art.
  4. Um die Extremwerte der ersetzten Variablen zu finden musst du jetzt noch deine gefundenen Extremwerte in die gegebenen Nebenbedingungen einsetzen.

Hinweis:

Dieses Verfahren kannst du nur anwenden, wenn sich die Nebenbedingungen eindeutig umstellen lassen. Eine Nebenbedingung, wie beispielsweise kann nicht eindeutig nach umgestellt werden, da durch das Ziehen der Wurzel eine negative und eine positive Lösung entsteht. Auch Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen lassen sich also nicht mit diesem Verfahren lösen.

 
Vorgehen

2. Verfahren: Lagrange Optimierungsverfahren

  1. Stelle zunächst alle gegebenen Nebenbedingungen nach um, sodass sie die Form haben.

  2. Multipliziere alle Nebenbedingungen jeweils mit einem Parameter und addiere diese zu deiner Zielfunktion . Das ergibt die sogenannte Hilfsfunktion (Lagrange-Funktion).
    In zwei Variablen und mit einer Nebenbedingung sieht die Lagrange-Funktion so aus:


  3. Im nächsten Schritt leitest du die Hilfsfunktion partiell nach jeder vorkommenden Variable, also nach und ab.

  4. Wenn du nun all diese partiellen Ableitungen gleich setzt, ergibt sich ein Gleichungssystem, bestehend aus allen partiellen Ableitungen. Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert dir die gesuchten Extremstellen. 

  5. Um nun die Art der jeweiligen Extremstelle anzugeben, stellst du die geränderte Matrix der Lagrange-Funktion auf. Die geränderte Matrix ist die Hesse-Matrix, allerdings mit als erster Variable. 
    In zwei Variablen und mit einer Nebenbedingung sieht diese Matrix grundsätzlich so aus:

    Unter Verwendung von und des Satzes von Schwarz solltest du auf folgende Matrix kommen: 

    Hinweis: Falls es nur zwei Variablen und eine Nebenbedingung gibt, genügt es, die normale Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion zu betrachten.

  6. Wenn du nun die Art einer Extremstelle bestimmen willst, betrachtest du die Hauptminoren , für der geränderten Matrix an deiner Extremstelle:
    • negativ und weitere Hauptminoren alternieren: Minimum (positive Definitheit).
    • positiv und weitere Hauptminoren alternieren: Maximum (negative Definitheit).