Trennung der Variablen (Separation)

Theorie:

Trennung der Variablen

Die Trennung der Variablen (auch Separation der Veränderlichen) kannst du als Lösungsansatz wählen, wenn die DGL die Form hat.

Vorgehen

Trennung der Variablen

Wenn DGL von der Form

  1. Löse zunächst die Gleichung nach auf:
    Die Gleichung hat nun die Form .

  2. Schreibe nun als .
    .

  3. Multipliziere nun mit :


  4. Jetzt kannst du beide Seiten integrieren:


  5. Löse beide Integrale und stelle nach um.

Um deine Lösung zu überprüfen, kannst du einfach dein gefundenes ableiten, und in deine ursprüngliche DGL einsetzen und somit nachrechnen, ob deine Lösung für die DGL löst.

Anfangswertproblem

auch Anfangswertaufgabe oder Cauchy-Problem.

 

Definition

Anfangswertproblem (AWP)

Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also .

Häufig ist nur ein und ein (z.B. in der Form ) gegeben. 
Um ein AWP zu lösen, löst du wie gewohnt die DGL, erstmal ohne die Anfangswerte zu beachten. 
Die Parameter, die in deiner Lösung auftauchen, kannst du dann durch Einsetzen der gegebenen Anfangswerte ermitteln, indem du nach den Konstanten umstellst.

Vorgehen

Anfangswertproblem lösen

  1. Löse die DGL.

  2. Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.
    Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. 

  3. Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.

  4. Setze die berechneten Parameter in deine Lösung ein.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Finde die Lösung der Differentialgleichung:

Aufgabe 2

Löse das folgende Anfangswertproblem:

Aufgabe 3

Löse das folgende Anfangswertproblem:

Aufgabe 4

Löse die folgende Differentialgleichung:

Aufgabe 5

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Aufgabe 6

Löse das folgende Anfangswertproblem:

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