Orthogonaltrajektorien

test

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Triviale DGL

Triviale Differentialgleichungen

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Variation der Konstanten (inhomogen)

Variation der Konstanten

DGL Systeme

Regel von Sarrus (3x3 Determinante)

Höhere Ordnungen

Lineare homogene DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

\begin{align*}y(x)=-x \cdot \sqrt{2 x^{2}-1} \quad, \quad x&lt;-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}y(x)=-x \cdot \sqrt{2 x^{2}-1} \quad, \quad x<-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{align*}" style="vertical-align: -2.106ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.071ex" height="5.344ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1431 16385.2 2362" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9091-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-SO-221A" d="M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 1013 844T1020 832V826L741 243Q645 43 540 -176Q479 -303 469 -324T453 -348Q449 -350 436 -350L424 -349L315 -96Q206 156 205 156L171 130Q138 104 137 104L111 130L263 249Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-9091-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 89)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2117.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3173.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3951.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4745.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(5246, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1697.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2698, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 204.2)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-SO-221A"></use></g><rect width="3198" height="60" x="1020" y="994.2"></rect></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(9464, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10464, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(10908.7, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11908.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12758.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13814.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(14592.2, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(646.5, 676)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220, -920.5)"><g transform="translate(853, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 100.5)"><use xlink:href="#MJX-9091-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="60" x="853" y="840.5"></rect></g><rect width="1553" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Nutze Substitution um die DGL separierbar zu machen:

\begin{aligned}
z &amp;=\frac{y}{x} \quad \quad ,(x&lt;0)\\
y &amp;=z \cdot x \\
y^{\prime} &amp;=z^{\prime} \cdot x+z
\end{aligned}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{aligned}
z &=\frac{y}{x} \quad \quad ,(x<0)\\
y &=z \cdot x \\
y^{\prime} &=z^{\prime} \cdot x+z
\end{aligned}" style="vertical-align: -4.495ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.702ex" height="10.122ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2487 8708.2 4474" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9080-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-9080-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 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-167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9080-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-9080-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-9080-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path 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xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(261, 676)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2345.6, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3345.6, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4345.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4790.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5179.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6029, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7084.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7584.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -378)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(244.5, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-I-1D466"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(734.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2020.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2521, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1737)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g 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0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4559.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-9080-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze die Ergebnisse für $y$ und $y^{\prime}$ in die gegebene DGL ein:

Setze die Ergebnisse für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9081-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9081-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y^{\prime}" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.662ex" height="2.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 734.5 964" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9082-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9082-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9082-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(490, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9082-TEX-N-2032"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> in die gegebene DGL ein:

\begin{aligned}
x\left(z^{\prime} x+z\right) &amp;=2 \cdot z \cdot x+\frac{x^{2}}{z \cdot x} \\
z^{\prime} &amp;=\frac{1}{x} \cdot\left(z+\frac{1}{z}\right) \\
z(-1)&amp;=1
\end{aligned}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{aligned}
x\left(z^{\prime} x+z\right) &=2 \cdot z \cdot x+\frac{x^{2}}{z \cdot x} \\
z^{\prime} &=\frac{1}{x} \cdot\left(z+\frac{1}{z}\right) \\
z(-1)&=1
\end{aligned}" style="vertical-align: -6.455ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.589ex" height="14.041ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3353 12194.2 6205.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9083-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-9083-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 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1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path><path id="MJX-9083-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9083-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-9083-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1843)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(572, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1167.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1961.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2961.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3426.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-SO-29"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4456.9, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2055.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2556, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3243.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3743.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4537.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5537.9, 0)"><g data-mml-node="msup" transform="translate(611.9, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(687.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1187.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="1959.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -603.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3747.4, 0)"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-2032"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4456.9, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(256, 676)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2567.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3068, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(736, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1423.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2423.4, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(237.5, -686)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D467"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3363.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2603)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1935.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(465, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(854, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1632, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2132, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4456.9, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-9083-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Löse die DGL mit Trennung der Variablen:

\begin{aligned}
\frac{d z}{d x} &amp;=\frac{1}{x} \cdot\left(z+\frac{1}{z}\right) \\
\Leftrightarrow \quad \int \frac{z}{z^{2}+1} d z &amp;=\int \frac{1}{x} d x \\
\frac{1}{2} \ln \left(z^{2}+1\right)&amp;=\ln |x|+C
\end{aligned}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{aligned}
\frac{d z}{d x} &=\frac{1}{x} \cdot\left(z+\frac{1}{z}\right) \\
\Leftrightarrow \quad \int \frac{z}{z^{2}+1} d z &=\int \frac{1}{x} d x \\
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wobei wegen $y(-1)=1: \frac{1}{2} \ln \left((-1)^{2}+1\right)=\ln |-1|+C$

wobei wegen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(-1)=1: \frac{1}{2} \ln \left((-1)^{2}+1\right)=\ln |-1|+C" style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="42.309ex" height="2.748ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 18700.4 1214.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9085-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 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$$\Leftrightarrow \quad y(x)=\pm x \cdot \sqrt{2 x^{2}-1}$$

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Wegen des Anfangswertes bildet nur der negative Term eine Lösung
$$\Leftrightarrow \quad y(x)= -x \cdot \sqrt{2 x^{2}-1}$$

Wegen des Anfangswertes bildet nur der negative Term eine Lösung
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Löse das folgende Anfangswertproblem:\begin{align*}x \cdot y^{\prime}&amp;=2 \cdot y+\frac{x^{2}}{y} \\y(-1)&amp;=1\end{align*}

Löse das folgende Anfangswertproblem:<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}x \cdot y^{\prime}&=2 \cdot y+\frac{x^{2}}{y} \\y(-1)&=1\end{align*}" style="vertical-align: -3.621ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.62ex" height="8.373ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2100.5 8230 3700.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9079-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Trennung der Variablen (Separation) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Lineare DGL - Trennung der Variablen (Separation) | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_heading">Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht</h2>
Separierbare DGL 1. Ordnung 
Form: $y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
$$\int \frac{1}{g(y)} d y=\int f(x) d x$$
 
Durch Substitution lösbare DGL Form: $\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c})$ mit $b \neq 0$ Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere: $u=a x+b y+c$, somit ist $y^{\prime}=f(u)$ Dann ist $u^{\prime}=\frac{d u}{d x}=a+b \frac{d y}{d x}=1 \cdot(a+b \cdot f(u))$ Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von $u(x)$. Die Rücksubstitution liefert dir dann $y(x)$
 
<h2 class="content_heading">Lineare DGLs</h2>
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus  1. der allgemeinen Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})$ der zugehörigen homogenen DGL 2. der partikulären Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$ der inhomogenen DGL zusammen:  $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$
 
Homogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=0$ Die allgemeine Lösung lautet:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{F}(\mathrm{x})}$, wobei $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ und $\mathrm{C} \in \mathrm{R}$.
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x})$ Lösung durch Variation der Konstanten:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{c}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{A}(\mathrm{x})}$, wobei $c(x)=\int b(x) \cdot e^{+A(x)} d x$ und $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\int \mathrm{a}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Form: $y^{\prime}+a_{0} y=g(x)$, wobei $a_{0}=konstant$ Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
$\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}}$
 
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: 
<ol>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{o}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{n} x^{n}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha \neq-\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha=-a_{0}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot x \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{1} \cdot \sin (\beta x)+b_{2} \cdot \cos (\beta x)$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{1} \cdot \sin (\beta x)+c_{2} \cdot \cos (\beta x)$</li>
</ol>
Die allgemeine Lösung ist dann: $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$

<h2 class="content_sub_heading">Typen von DGLs</h2>
Triviale Differentialgleichung $$y^{(n)}=f(x)$$ Getrennte Variablen $$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$$ Linear 1. Ordnung $$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$$ Euler-homogen $$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$ Lineare Transformation $$y^{\prime}=f(a x+b y+c)$$ Gebrochen rationale Transformation $$y^{\prime}=f\left(\frac{a x+b y+c}{d x+e y+f}\right)$$ Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten $$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=b(x)$$ Bernoulli $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$ Ricatti $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)$$

<h2 class="content_sub_heading">Kategorien von DGLs</h2>
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel: $y(x) = 4y^{\prime}(x) + y^{\prime \prime}(x)$
 
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel: $y(x,t) = 4 \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} + 3 \frac{\partial{y}}{\partial{x}}$
 
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel: $y = 4y^{\prime} + y^{\prime \prime}$ (diese DGL ist 2. Ordnung).
 
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel: $y = 4x^2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime}$
 
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel: $y^{\prime} = sin(y)$
 
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne $y$ (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 0$
 
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne $y$)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 2x^2$
 
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL. </li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um. Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen.  </li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter. </li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung $y(x)$ ein.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL. </li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um. Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen.  </li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter. </li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.163ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1840 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1114-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Differentialgleichung</h2>
Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also $y(x_n) = y_n$.

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x_n) = y_n" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.584ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4678.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1113-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(879,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1958.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2625,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3680.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.

<h2 class="content_sub_heading">Trennung der Variablen</h2>
Wenn DGL von der Form $y^{\prime} = f(x)\cdot{g(y)}$
<ol>
<li>Löse zunächst die Gleichung nach $f(x)$ auf: Die Gleichung hat nun die Form $\frac{1}{g(y)} y{\prime} = f(x)$. </li>
<li>Schreibe nun $y^{\prime}$ als $\frac{dy}{dx}$. $\frac{1}{g(y)} \frac{dy}{dx} = f(x)$. </li>
<li>Multipliziere nun mit $dx$: $\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx$ </li>
<li>Jetzt kannst du beide Seiten integrieren: $\int\frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx$ </li>
<li>Löse beide Integrale und stelle nach $y(x)$ um.</li>
</ol>

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: