Diagonalisierung

Theorie:

Diagonalisierung einer Matrix

Formal heißt eine Matrix diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix gibt, so dass

Um eine Matrix zu diagonalisieren, verwende die folgenden Schritte:

Vorgehen

Diagonalisieren einer Matrix

  1. Berechne alle Eigenwerte der Matrix .

  2. Bestimme die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte . Diese entspricht jeweils der Häufigkeit mit der ein Eigenwert vorliegt.

  3. Ermittel nacheinander die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte und schaue ob . Die geometrische Vielfachheit entspricht der Dimension des Eigenraums bzw. der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert.

  4. Falls für alle Eigenwerte gilt, so ist die Matrix diagonalisierbar mit . Die Diagonaleinträge in sind hierbei die berechneten Eigenwerte und die Spalten von sind die zugehörigen Eigenvektoren.
    ,       

Liegt eine Matrix in der diagonalisieren Form vor, so können sehr einfach Potenzen von berechnet werden mit:

Eine schnelle Berechnung der Determinante erfolgt über

Aufgaben:

Aufgabe 1

Bestimme, falls möglich, eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix so dass .

Aufgabe 2

Bestimme, falls möglich, eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix so dass .

Aufgabe 3

Konstruiere eine Ähnlichkeitstransformation, die die Matrix

auf Diagonalform transformiert.

Aufgabe 4

Transformiere die Matrix

auf Diagonalform.

Aufgabe 5

Bestimme zu der Matrix

die Matrix mit der Eigenschaft, dass .

Aufgabe 6

Bestimme die reelle Matrix aus

 

 

Nutze eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix

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