Formal heißt eine Matrix diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix gibt, so dass
Um eine Matrix zu diagonalisieren, verwende die folgenden Schritte:
Vorgehen
Diagonalisieren einer Matrix
Berechne alle Eigenwerte der Matrix .
Bestimme die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte . Diese entspricht jeweils der Häufigkeit mit der ein Eigenwert vorliegt.
Ermittel nacheinander die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte und schaue ob . Die geometrische Vielfachheit entspricht der Dimension des Eigenraums bzw. der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert.
Falls für alle Eigenwerte gilt, so ist die Matrix diagonalisierbar mit . Die Diagonaleinträge in sind hierbei die berechneten Eigenwerte und die Spalten von sind die zugehörigen Eigenvektoren. ,
Liegt eine Matrix in der diagonalisieren Form vor, so können sehr einfach Potenzen von berechnet werden mit:
Eine schnelle Berechnung der Determinante erfolgt über