Satz von Weierstraß (Minimum, Maximum)

Theorie:

Stetigkeit

Stetigkeit bezieht sich immer auf einen Punkt . Ist eine Funktion für alle -Werte in ihrem Definitionsbereich stetig, dann heißt die Funktion stetig auf . Stetigkeit in einem Punkt wird gezeigt, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert in diesem Punkt gleich sind und mit dem Funktionswert in übereinstimmen:

Elementare Funktionen (Polynome, exp(x), Trigonometrische Funktionen, etc) sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig. Funktionen die zusammengesetzt werden aus solchen, müssen besonders untersucht werden an den Übergangsstellen.

Gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Stetigkeit prüfen

  1. Überprüfe die Teilfunktionen auf Stetigkeit. Elementare Funktionen (Polynome, exp(x), Trigonometrische Funktionen, etc) sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig.

  2. Was sind die kritischen "Übergangsstellen"? Existieren die Funktionswerte der betrachteten Funktion an diesen Stellen?

  3. Zeige, dass die Grenzwerte von Rechts und Links an den kritischen Stellen übereinstimmen:

Satz von Weierstraß (Minimum, Maximum)

Zum Nachweis der Existenz von Maximum und Minimum (einer Funktion ) auf einem festgelegten Intervall, gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Satz von Weierstraß (Minimum, Maximum)

  1. Prüfe ob die Funktion im Intervall beschränkt ist und ob das gegebene Intervall abgeschlossen ist, indem du z.B. schaust ob es zu beiden Seiten eckige Klammern besitzt.
    Zum Vergleich: Bei beidseitig runden Klammern spricht man von einem offenen Intervall , bei einseitig runden Klammern von einem halboffenen Intervall bzw.

  2. Zeige/Begründe die Stetigkeit von auf dem gegebenen Intervall.

  3. Schlussfolgerung mit Satz von Weierstraß:
    Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt dort Maximum und Minimum an.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Es sei gegeben

Entscheide, ob die Funktion für den Definitionsbereich ein Minimum/Maximum annimmt.

Aufgabe 2

Gegeben sei die Funktion mit

Besitzt ein Maximum oder Minimum?

Aufgabe 3

Gegeben sei die Funktion mit

Besitzt die Funktion ein Minimum und ein Maximum auf dem Intervall

Aufgabe 4

Gegeben sei die Funktion mit

Besitzt die Funktion ein Minimum und ein Maximum auf dem Intervall

Aufgabe 5

Es sei gegeben

Entscheide, ob die Funktion in dem Definitionsbereich ein Minimum/Maximum annimmt.

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