Weise nach, dass die rekursiv definierte Folge
Berechne den Grenzwert, unter der Annahme das er existiert:
Als Grenzwert kommt also entweder
Weise die Beschränktheit der Folge nach.
Zeige
Induktionsanfang:
Induktionsvoraussetzung:
Die Behauptung
Induktionsschluss:
Zeige zunächst
Zeige nun
Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.
Die Folge ist durch
Zeige, dass die Folge monoton steigt:
Zeige
Nutze die oben nachgewiesene Beschränktheit um
Die Folge ist monoton steigend.
Leite ein abschließendes Ergebnis aus deinen Berechnungen ab:
Die Folge ist monoton steigend, beschränkt und konvergiert mit dem Grenzwert: