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Aufgabenstellung:

Untersuchen Sie die Funktion

  1. Bestimmen Sie die Bereiche, in denen streng monoton steigend bzw. fallend ist.

  2. Bestimmen Sie die Bereiche, in denen konvex bzw. konkav ist.

  3. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Wendepunkte der Funktion.

Lösungsweg:

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a) Bereiche, in denen streng monoton steigend bzw. fallend ist

Bilden der . Ableitung

Es ist für , denn für ist und damit .

Die Funktion ist also monoton fallend für . Für gilt mit analogem Argument, dass monoton steigend ist.

b) Bereiche, in denen konvex bzw. konkav ist

Die erste Ableitung hat eine einzige Nullstelle bei . Außerdem ist für alle . Daher lässt sich folgendes über die Konkavität bzw. Konvexität folgern: 

Wir folgern, dass überall konvex ist.

c) Extremwerte und Wendepunkte der Funktion

Die erste Ableitung hat eine einzige Nullstelle bei . Außerdem ist für alle . Somit lässt sich folgende Aussage über die Extremstelle treffen:

besitzt ein relatives Minimum an der Stelle . 

Betrachtung der . Ableitung, um eine Aussage über die Wendepunkte treffen zu können.

Da ist, hat keine Wendepunkte.

Lösung:

  1. Die Funktion ist monoton fallend für . Für ist monoton steigend

  2. ist überall konvex
  3. Minimum an der Stelle . hat keine Wendepunkte.