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Aufgabenstellung:

Ein Unternehmen bei vollständiger Konkurrenz produziert ein in (und auch kleineren Mengen) abgesetztes Gut mit

als Kostenfunktion. Die Kapazitätsgrenze liege bei . Der Marktpreis pro Tonne betrage .

  1. Welche Kosten verursacht eine zusätzlich produzierte Einheit an der Schwelle des Ertragsgesetzes? Berechnen Sie den Näherungswert über die Grenzfunktion und vergleichen Sie ihn mit der exakten Veränderung.

  2. Bestimmen Sie die Stelle des Betriebsminimums und die kurzfristige Preisuntergrenze.

  3. Bestimmen Sie die exakte Stelle des Betriebsoptimums, wenn bekannt ist, dass dieses nahe liegt. Wie hoch ist die langfristige Preisuntergrenze?

  4. Bei welcher Angebotsmenge ist der Stückgewinn maximal?

  5. Wie lautet die gewinnmaximierende Angebotsfunktion und in welchem Bereich ist sie langfristig gültig?

Lösungsweg:

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a) Kosten die eine zusätzlich produzierte Einheit an der Schwelle des Ertragsgesetzes verursacht 

-fache Differenzierung zur Bestimmung der Wendestelle. 

Setze , um zu überprüfen, ob die Wendestelle gleich der Schwelle des Ertraggesetzes ist. 

ist damit Schwelle des Ertragsgesetzes.

Bestimmung des Näherungswertes über die Grenzfunktion

Die exakte Veränderung kann über eine Differenz der Kostenfunktionen bei einer Absatzmenge von und bestimmt werden.

b) Stelle des Betriebsminimums und die kurzfristige Preisuntergrenze

Aufstellen der variablen Durchschnittskostenfunktion

Bilden der . und . Ableitung zur Bestimmung des Bestriebsminimums

Einsetzen des Betriebsminimums in die variable Durchschnittskostenfunktion zur Bestimmung der kurzfristigen Preisuntergrenze.

c) Exakte Stelle des Betriebsoptimums, wenn bekannt ist, dass dieses nahe liegt. Höhe der langfristigen Preisuntergrenze

Aufstellen der Durchschnittskostenfunktion

Bilden der . und . Ableitung zur Bestimmung des Betriebsoptimums 

Newton-Verfahren mit und für die Stelle :

Da , liegt an der Stelle (im Folgenden wird der auf zwei Nachkommastellen gerundete Wert verwendet) das Betriebsoptimum.

Die langfristige Preisuntergrenze liegt so bei:

d) Angebotsmenge bei der der Stückgewinn maximal ist

Der Stückgewinn wird am Betriebsoptimum maximiert. Für die gegebene Kostenfunktion wurde dieses unter ) bestimmt und liegt bei .

e) Gewinnmaximierende Angebotsfunktion . Bereich in dem diese langfristig gültig ist

Diese Funktion gilt für . Da für die Kapazitätsgrenze gilt, wird der Definitionsbereich der Funktion weiter eingeschränkt und zwar dementsprechend auf:

Lösung: