Das bestimmte Integral und seine Eigenschaften

Das unbestimmte Integral

Flächeninhaltsberechnungen

Spezielle Integrationstechniken

Uneigentliche Integrale

<p>Unterordner:&nbsp;</p>
<ul>
<li>Konsumentenrente</li>
<li>Produzentenrente</li>
<li>Kosten-, Erl&ouml;s- und Gewinnfunktionen</li>
<li>...</li>
</ul>

Ökonomische Anwendung

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Bestimme zunächst die Nullstellen der Funktion, um dein Integral aufzuteilen:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>&amp;&amp; f(x)&amp;= 0 \\\\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; x\left(x^{2}+2\right) &amp;= 0\\</p>
<p>\\</p>
<p>\Rightarrow &amp;&amp; x=0 \quad &amp;\lor \quad x^{2}+2=0</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Du erhältst nur die Nullstelle $x=0$, da $x^{2}+2=0$ zu keinem reellen Ergebnis führt.</p>


<p>Du erhältst nur die Nullstelle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x=0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-102-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-102-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-102-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-102-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-102-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-102-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, da <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x^{2}+2=0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.327ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 4564.6 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-103-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-103-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-103-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-103-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-103-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-103-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-103-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1230.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-103-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2231,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-103-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3008.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-103-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4064.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-103-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zu keinem reellen Ergebnis führt.</p>


<p>Drücke nun die gesuchte Fläche durch Integrale aus:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>A &amp;=\left|\int_{-2}^{2} x\left(x^{2}+2\right) d x\right| \\\\</p>
<p>&amp;=\left|\int_{-2}^{0} x\left(x^{2}+2\right) d x\right|+\left|\int_{0}^{2} x\left(x^{2}+2\right) d x\right|</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Löse $\int_{-2}^{0} x\left(x^{2}+2\right) d x$.</p>


<p>\[\begin{align*}\quad </p>
<p>\int_{-2}^{0} x\left(x^{2}+2\right) d x &amp;=\int_{-2}^{0} x^{3}+2 x d x \\\\</p>
<p>&amp;=\left[\frac{1}{4} x^{4}+x^{2}\right]_{-2}^{0} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{4} \cdot 0^{4}+0^{2}-\frac{1}{4}(-2)^{4}-(-2)^{2}=-8</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Löse analog $\int_{0}^{2} x\left(x^{2}+2\right) d x$:</p>


<p>Löse analog <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\int_{0}^{2} x\left(x^{2}+2\right) d x" style="vertical-align: -0.806ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.266ex" height="3.077ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1003.5 6747.8 1359.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-107-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-107-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-107-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-107-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path><path id="MJX-107-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 0.5)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-107-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(699.9,532.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(505,-340.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1270.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-107-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2008.8,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-107-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-107-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1688.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2689,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3189,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-107-TEX-SO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5655.8,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-107-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6175.8,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-107-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[\begin{align*}\quad </p>
<p>\int_{0}^{2} x\left(x^{2}+2\right) d x &amp;=\left[\frac{1}{4} x^{4}+x^{2}\right]_{0}^{2} \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{4} 2^{4}+2^{2}-\frac{1}{4} 0^{4}-0^{2} =8 <br />\end{align*}\]</p>


<p>Berechne den finalen Flächeninhalt, durch einsetzen der berechneten Werte in die oben aufgestellte Zielformel:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>A&amp;=\left|\int_{-2}^{0} x\left(x^{2}+2\right) d x\right|+\left|\int_{0}^{2} x\left(x^{2}+2\right) d x\right| \\\\</p>
<p>&amp;=|-8| + |8| \\\\</p>
<p>&amp;= 16</p>
<p>\end{align*}\]</p>

<p>Berechne den Inhalt der Fläche, welche durch die Funktion $f(x)$ und die $x$-Achse im Intervall $[-2, 2]$ eingeschlossen wird.</p>
<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f(x)&amp;=x\left(x^{2}+2\right)</p>
<p>\end{align*}\]</p>

<p>Berechne den Inhalt der Fläche, welche durch die Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-97-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Flächeninhaltsberechnungen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integralrechnung - Flächeninhaltsberechnungen | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: