Integration durch Substitution

Partielle Integration 

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

\[\begin{align*}
\int(2 x+1) e^{2 x} d x = x e^{2 x}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\int(2 x+1) e^{2 x} d x = x e^{2 x}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.914ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 10128 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 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\[\begin{alignat*}{2}
f(x)&amp;=2 x+1 \quad \quad &amp;&amp;&amp; \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 \\\\
g^{\prime}(x)&amp;=e^{2 x}  &amp;&amp;&amp;  \Rightarrow g(x)= \frac{1}{2} e^{2 x}
\end{alignat*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{alignat*}{2}
f(x)&=2 x+1 \quad \quad &&& \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 \\\\
g^{\prime}(x)&=e^{2 x}  &&&  \Rightarrow g(x)= \frac{1}{2} e^{2 x}
\end{alignat*}" style="vertical-align: -4.736ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.379ex" height="10.604ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2593.5 15195.6 4687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-16-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 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357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,1784.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(204.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2104.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6,0)"><use 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xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(636,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-16-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2436,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2825,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3397,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4063.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5119.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,484.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2104.5,0)"></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1407.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(510,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-16-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(754.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1143.5,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1715.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2104.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8232.5,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8232.5,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8232.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1555.6,0)"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2032.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2421.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2993.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3660.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4716.1,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5656.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Nutze die Formel der partiellen Integration und berechne anschließend das entstehende Integral:

\[\begin{align*}
\int \underbrace{(2 x+1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{e^{2 x}}_{{g^{\prime}(x)}} dx &amp;= \underbrace{(2 x+1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{\frac{1}{2} e^{2 x}}_{g(x)}-\int \underbrace{2}_{f^{\prime}(x)} \cdot \underbrace{\frac{1}{2} e^{2 x}}_{g(x)} d x
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\phantom{\int \underbrace{(2 x+1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{e^{2 x}}_{{g^{\prime}(x)}} dx}
&amp;=\frac{1}{2}(2 x+1) e^{2 x}-\int e^{2 x} d x \\
&amp;=\frac{1}{2} e^{2 x}(2 x+1-1) \\\\
&amp;=2 x \frac{1}{2} e^{2 x} \\\\
&amp;=x e^{2 x}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\phantom{\int \underbrace{(2 x+1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{e^{2 x}}_{{g^{\prime}(x)}} dx}
&=\frac{1}{2}(2 x+1) e^{2 x}-\int e^{2 x} d x \\
&=\frac{1}{2} e^{2 x}(2 x+1-1) \\\\
&=2 x \frac{1}{2} e^{2 x} \\\\
&=x e^{2 x}
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transform="translate(8297.6,0)"></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-5447.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8297.6,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8297.6,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1905.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
\[\begin{align*}
\int(2 x+1) e^{2 x} d x
\end{align*}\]

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\int(2 x+1) e^{2 x} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.646ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 6915.5 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Integration  mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Spezielle Integrationstechniken - Partielle Integration  | Aufgabe mit

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<ul>
<li>Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.</li>
<li>Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.</li>
</ul>

<h2 class="content_sub_heading">Partielle Integration</h2>
<ol>
<li>Wähle $f(x)$ und $g^{\prime}(x)$. Wähle hierbei $g^{\prime}(x)$ so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie $e, \sin, \cos \ldots$ bieten sich hierfür an. </li>
<li>Bilde nun: 1.) $f^{\prime}(x)$ durch Ableiten von $f(x)$ 2.) $g(x)$ durch Integration von $g^{\prime}(x)$ </li>
<li>Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein: \begin{align*}\quad \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x\end{align*} </li>
<li>Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: