Integration durch Substitution

Partielle Integration 

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

\[\begin{align*}
\int \sqrt{x} \ln (x) d x=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln (x)-\frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}
\end{align*}\]

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\int \sqrt{x} \ln (x) d x=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln (x)-\frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.383ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 15197.3 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-17-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-17-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 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u(x)&=\ln (x) \quad \quad &&& \Rightarrow u^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \\
v^{\prime}(x)&=\sqrt{x} &&& \Rightarrow v(x)=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}
\end{alignat*}" style="vertical-align: -4.399ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="32.829ex" height="9.93ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2444.5 14510.2 4389" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 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175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,1102.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(190.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1533,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2112.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2556.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3128.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3517.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4517.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7630,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7630,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8409.7,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1555.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-14-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2405,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2794,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3366,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4032.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5088.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(256,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-686)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1236.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-14-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(762.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1151.5,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1723.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2112.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(1333.6,0)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,30.8)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-221A"></use></g><rect width="572" height="60" x="853" y="770.8"></rect></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7630,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7630,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7630,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1555.6,0)"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2040.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2429.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3001.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3668.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4724.1,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5664.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein :

\[\begin{align*}
\int \sqrt{x} \ln (x) d x&amp;=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln (x)-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x \\
&amp;=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln (x)-\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x
\end{align*}\]

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height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(12064,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(12584,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1261)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5978.3,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5978.3,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2273.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3656.3,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4490.3,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4490.3,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4879.3,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5451.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6062.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(7062.8,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8169.5,0) translate(0 1)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-15-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(9280.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10496.3,0)"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11016.3,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Berechne das neu entstandene Integral:

\[\begin{align*}
\phantom{\int \sqrt{x} \ln (x) d x}
&amp;=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln (x)-\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\\
&amp;=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln (x)-\frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\phantom{\int \sqrt{x} \ln (x) d x}
&=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln (x)-\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\\
&=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln (x)-\frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -4.619ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="38.144ex" height="10.369ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2541.5 16859.7 4583" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-16-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 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52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 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Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
\[\begin{align*}
\int \sqrt{x} \ln x \ d x
\end{align*}\]

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\int \sqrt{x} \ln x \ d x
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.708ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 5617 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Integration  mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Spezielle Integrationstechniken - Partielle Integration  | Aufgabe mit

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<ul>
<li>Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.</li>
<li>Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.</li>
</ul>

<h2 class="content_sub_heading">Partielle Integration</h2>
<ol>
<li>Wähle $f(x)$ und $g^{\prime}(x)$. Wähle hierbei $g^{\prime}(x)$ so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie $e, \sin, \cos \ldots$ bieten sich hierfür an. </li>
<li>Bilde nun: 1.) $f^{\prime}(x)$ durch Ableiten von $f(x)$ 2.) $g(x)$ durch Integration von $g^{\prime}(x)$ </li>
<li>Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein: \begin{align*}\quad \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x\end{align*} </li>
<li>Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: