Integration durch Substitution

Partielle Integration 

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Das Lösung des Integrals lautet:
\begin{align*}
\int x^{2} e^{x} d x =e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)
\end{align*}

Das Lösung des Integrals lautet:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int x^{2} e^{x} d x =e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.74ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 12261.1 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1175-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-1175-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 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v^{\prime}(x)&amp;=e^x &amp;&amp;&amp; \Rightarrow v(x)=e^x
\end{alignat*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{alignat*}{2}
u(x)&=x^2 \quad \quad &&& \Rightarrow u^{\prime}(x)=2x \\
v^{\prime}(x)&=e^x &&& \Rightarrow v(x)=e^x
\end{alignat*}" style="vertical-align: -2.254ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="28.317ex" height="5.64ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1496.5 12516.1 2492.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1167-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1167-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 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413) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6388.6, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6388.6, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6388.6, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1555.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2040.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2429.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3001.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3668.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4724.1, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(466, 413) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-1167-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein :

\begin{align*}
\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x} -2 \int x e^{x} d x
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x} -2 \int x e^{x} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="29.214ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 12912.5 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1168-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-1168-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 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Berechne das entstandene Integral erneut mittels partieller Integration!

Wähle erneut $u(x)$, $v^{\prime}(x)$ und berechne $u^{\prime}(x)$, $v(x)$:

Wähle erneut <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="u(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.348ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1922 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1169-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1169-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 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Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
\begin{align*}
\int x^{2} e^{x} d x
\end{align*}

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int x^{2} e^{x} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.273ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 4098.7 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1162-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-1162-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1162-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1162-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path id="MJX-1162-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1162-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1110.7, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1162-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1162-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2086.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1162-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1162-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3006.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-1162-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3526.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-1162-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Integration  mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Spezielle Integrationstechniken - Partielle Integration  | Aufgabe mit

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<ul>
<li>Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.</li>
<li>Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.</li>
</ul>

<h2 class="content_sub_heading">Partielle Integration</h2>
<ol>
<li>Wähle $f(x)$ und $g^{\prime}(x)$. Wähle hierbei $g^{\prime}(x)$ so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie $e, \sin, \cos \ldots$ bieten sich hierfür an. </li>
<li>Bilde nun: 1.) $f^{\prime}(x)$ durch Ableiten von $f(x)$ 2.) $g(x)$ durch Integration von $g^{\prime}(x)$ </li>
<li>Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein: \begin{align*}\quad \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x\end{align*} </li>
<li>Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: