Produktregel

<p>3 sehr kurze Beispiele in Auer/Seitz - Grundkurs Wirtschaftsmathematik</p>

Summenregel

Quotientenregel

Kettenregel

Differenzieren von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[<br />y^{\prime}=4 x-\frac{1}{x} <br />\]</li>
<li>\[<br />y^{\prime}=-\frac{1}{3 x}-\frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}} <br />\]</li>
<li>\[<br />y^{\prime}=\frac{1}{x} <br />\]</li>
</ol>

<p>\[<br />y^{\prime}=4 x-\frac{1}{x} <br />\]</p>


<p>Nebenrechnung (Betrachtung des \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)-Terms) :</p>


<p>Nebenrechnung (Betrachtung des <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\frac{1}{\sqrt{x}}" style="vertical-align: -1.334ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.275ex" height="3.291ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1447.6 1454.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-144-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-144-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path><path id="MJX-144-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(547,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-144-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220,-436.1) scale(0.707)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-144-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,-34.6)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-144-TEX-N-221A"></use></g><rect width="572" height="42.4" x="853" y="723"></rect></g><rect width="1207.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container>-Terms) :</p>


<p>\[<br />h(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}} \quad \Rightarrow \quad h^{\prime}(x)=-\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}} <br />\]</p>


<p>\[<br />y^{\prime}=-\frac{1}{3 x}-\frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}} <br />\]</p>


<p>Nebenrechnungen (getrennte Betrachtung der einzelnen Terme):</p>


<p>\[<br />f(x)=\ln (2 x)=\ln 2+\ln x \quad \Rightarrow \quad  f^{\prime}(x)=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x} <br />\]</p>


<p>\[<br />g(x)=x^{-1} \cdot(\sqrt{x})^{2}=x^{-1} \cdot x=1 \quad \Rightarrow \quad  g^{\prime}(x)=0 <br />\]</p>


<p>Somit ergibnt sich folgendes Differential:</p>


<p>\[<br />y^{\prime}=\frac{1}{x} <br />\]</p>

<p>Bilden Sie die Ableitungen zu folgenden Funktionen </p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>
<p>\[<br />y=2 x^{2}-\ln x <br />\]</p>
</li>
<li>
<p>\[<br />y=3-\frac{\ln x}{3}+\frac{1}{\sqrt{x}} <br />\]</p>
</li>
<li>
<p>\[<br />y=\ln (2 x)+x^{-1} \cdot(\sqrt{x})^{2} <br />\]</p>
</li>
</ol>

<p>Bilden Sie die Ableitungen zu folgenden Funktionen </p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
y=2 x^{2}-\ln x 
" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.862ex" height="2.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 6127.2 1088.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-138-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-138-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-138-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-138-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-138-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-138-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-138-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-138-TEX-N-2061" d=""></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-138-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-138-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-138-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2323.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-138-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-138-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3554.3,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-138-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4554.6,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-138-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-138-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5388.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-138-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5555.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-138-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>
</li>
<li>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Summenregel mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: