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Aufgabenstellung:

Das harmonisch genäherte Potential des linearen Moleküls mit der Gleichgewichtslage ist:

Kraftkonstanten; Biegewinkel in -Ebene:

  1. Schreiben Sie die potentielle Energie mit massengewichteten Koordinaten etc. als -Blockdiagonalmatrix.
  2. Bestimmen die Schwingungsfrequenzen aus den Eigenwerten .
  3. Wie sehen die Eigenvektoren aus?
  4. Bestimmen Sie die Normalkoordinaten in Abhängigkeit der kartesischen Auslenkungen etc.

Lösungsweg:

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Tipp

Die kartesischen Koordinaten werden durch Normalkoordinaten ersetzt, nach Potenzen sortiert und in eine Blockmatrix umgeschrieben. Die quadratischen Glieder mit stehen in der Diagonalen, gemischte Glieder mit symmetrisch darüber und darunter.

Potentielle Energie:

Eigenwertgleichung:

1. Blockdiagonalmatrix

Die Terme mit den Kraftkonstanten werden in eine Diagonalblockmatrix geordnet. In Spalte 2 bzw. 5 wurde der Faktor 2 bzw. 4 vor allen Elementen "wegdividiert". Es ergibt sich die folgende Matrix

2. Schwingungsfrequenzen 

Bestimmung der Eigenwerte Die Diagonalelemente jeder Untermatrix werden um ergänzt und die Determinante nach aufgelöst. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktore null ist!

Aus (1) folgt:

Aus (2) folgt:

und

Die zweite und die identische dritte Untermatrix liefern die Eigenwerte:

3. Eigenvektoren

Die Eigenvektoren werden durch Einsetzen jeweils eines Eigenwertes in die Diagonalelemente der Matrix und Lösung des Gleichungssystems bestimmt. Gleiche Faktoren in einer Zeile oder Spalte einer Matrix dürfen gekürzt werden.

Mit und der willkürlichen Wahl lautet der erste Eigenvektor:

Der Eigenvektor wird normiert, indem man durch den Betrag teilt.

Alle neun Eigenwerte werden zur Eigenwertmatrix zusammengestellt. Weil orthogonal ist, ist die inverse Matrix gleich der transponierten Matrix

4. Normalkoordinaten in Abhängigkeit der kartesischen Auslenkungen

Normalkoordinaten als Funktion der kartesischen Auslenkungen etc.. Es gilt:

Für beliebige Werte der Normalkoordinaten bleibt das Verhältnis der kartesischen Auslenkungen konstant. Das Vorzeichen von zeigt die Bewegungsrichtung an.

Mit gilt:

Abbildung

Lösung:

siehe Lösungsweg