Grundlagen der Wellenausbreitung

Interferenz

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Kleine Beweise

<p>\[<br />\Delta \vec{B}=\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}}<br />\]</p>

<p>Es gilt das Maxwellsche Durchflutungsgesetz und das Maxwellsche Induktionsgesetz</p>


<p>\[<br />\vec{\nabla} \times \vec{B}=\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad \text { bzw. } \quad \vec{\nabla} \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}<br />\]</p>


<p>Unter Bildung der Rotation des Durchflutungsgesetzes erhält man</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{B} &amp;=\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \times \vec{E}) \\<br />&amp;=-\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Aus der Definition gilt für die Rotation der Rotation des B-Feldes:</p>


<p>\begin{align}<br />\quad \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{B}&amp;=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{B})-\Delta \vec{B}\\</p>
<p>&amp;=-\Delta \vec{B}<br />\end{align}</p>
<p>da magnetische Felder Quellfrei sind \( (\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0) \).</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align}
\quad \vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{B}&=\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{B})-\Delta \vec{B}\\
&=-\Delta \vec{B}
\end{align}" style="vertical-align: -2.796ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.546ex" height="6.724ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1736 13943.3 2972" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4-TEX-N-2207" d="M46 676Q46 679 51 683H781Q786 679 786 676Q786 674 617 326T444 -26Q439 -33 416 -33T388 -26Q385 -22 216 326T46 676ZM697 596Q697 597 445 597T193 596Q195 591 319 336T445 80L697 596Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 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<p>da magnetische Felder Quellfrei sind <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0) " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.145ex" height="3.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1086 4926 1336" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-2207" d="M46 676Q46 679 51 683H781Q786 679 786 676Q786 674 617 326T444 -26Q439 -33 416 -33T388 -26Q385 -22 216 326T46 676ZM697 596Q697 597 445 597T193 596Q195 591 319 336T445 80L697 596Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-5-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2207" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-2207"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(416.5,272) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1444.2,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1944.4,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(462.8,272) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2981.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4037,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4537,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>Nach Gleichsetzen erhält man final die Wellengleichung:</p>


<p>Zeigen Sie, dass aus den Maxwell-Gleichungen eine Wellengleichung für das magnetische Feld \( \vec{B} \) folgt.</p>

<p>Zeigen Sie, dass aus den Maxwell-Gleichungen eine Wellengleichung für das magnetische Feld <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \vec{B} " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="2.457ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1086 759 1086" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(462.8,272) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> folgt.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Grundlagen der Wellenausbreitung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Wellen - Grundlagen der Wellenausbreitung | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: