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Aufgabenstellung:

Gegeben sei die Wellengleichung für die Ausbreitung einer Welle mit Ausbreitungsgeschwindigkeit

  1. Zeigen Sie, dass , wobei und Konstanten sind, die Wellengleichung löst. Welche Zusammenhang besteht zwischen und
  2. Wie hängen und mit der Wellenlänge zusammen?

    Nun werden zwei separate Wellen betrachtet und , wobei eine Konstante unabhängig von und ist. Beide lösen die Wellengleichung. Beide Wellen überlagern sich nun .

  3. Warum löst auch die Welle die Wellengleichung?

  4. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass und zum einen , zum anderen . Leiten Sie eine einfache Form der Welle her, d.h bringen Sie die Welle in die Form

  5. Nun wird gesetzt. Die Wellenzahlen und Frequenzen der beiden Ausgangswellen unterscheiden sich nun etwas. Welche Form hat die Welle jetzt?

Lösungsweg:

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a) Konstanten

Zunächst berechnen wir die benötigten zweiten Ableitungen der Lösung

Nach Einsetzen in die Wellengleichung erhalten wir die folgende Gleichung

b) Zusammenhang zur Wellenlänge

Die Wellenzahl ist abhängig von der Wellenlänge

Hieraus kann mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a) auch ein Zusammenhang zu hergeleitet werden, wobei die Frequenz der Welle ist

c) Warum löst auch die Welle die Wellengleichung?

Die Wellengleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung, d.h sind und Lösungen der Wellengleichung ist auch jede Linearkombination dieser beiden Funktionen eine Lösung der Wellengleichung.

d) Einfache Form der Wellengleichung

Für ergibt sich folgende einfache Form

Die resultierende Welle hat also die gleiche Wellenzahl und die gleiche Frequenz wie die beiden Ausgangswellen, aber die Amplitude ist doppelt so groß. Für den Fall können das Additionstheorem für angewendet werden.

Für die Welle 1 folgt

da und .

Somit löscht sich die resultierende Welle aus

Die beiden Fälle werden als konstruktive und destruktive bezeichnet.

e) Form der Welle

Für den Fall, dass , aber und kann ein Additionstheorem angewendet werden

Somit ergibt sich

Dies wird als Schwebung bezeichnet. Der Sinus-förmige Teil hat eine kleine Wellenlänge und eine hohe Frequenz und wird als Trägerwelle bezeichnet. Der Kosinus-förmige Teil hat eine große Wellenlänge und eine kleine Frequenz und wird als Einhüllende der Welle bezeichnet.

Lösung:

  3. siehe Lösungsweg
  4. Die beiden Fälle werden als konstruktive und destruktive bezeichnet.