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Aufgabenstellung:

Für das lineare zeitinvariante System mit der Zustandsdarstellung

soll ein vollständiger Luenberger-Beobachter entworfen werden.
Gehen Sie hierzu wie folgt vor:

  1. Weisen Sie die vollständige Beobachtbarkeit des Systems nach.
  2. Transformieren Sie das System auf Beobachtungsnormalform. Nutzen Sie dafür die für die Ähnlichkeitstransformation gegebene Transformationsmatrix
  3. Entwerfen Sie einen vollständigen Luenberger-Beobachter in transformierten Koordinaten. Die Fehlerdynamikmatrix soll die Eigenwerte und aufweisen.
  4. Transformieren Sie den berechneten Beobachterkorrekturvektor zurück in die Originalkoordinaten.
  5. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis für mit Hilfe der Formel von Ackermann.

Lösungsweg:

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Es gilt: 

a) Beobachtbarkeit

Mit Hilfe der Kalmanschen Beobachtbarkeitsmatrix wird die Beobachtbarkeit des Systems überprüft

Da gilt ist das System vollständig beobachtbar.

b) Transformation in die Beobachtungsnormalform

Um das System in Beobachtungsnormalform zu transformieren, wird das Dualitätsprinzip genutzt, das heißt, für das duale System wird die Regelungsnormalform aufgestellt. Im folgenden wird das duale System mit dem Index gekennzeichnet.

Die für die Transformation benötigte Steuerbarkeitsmatrix lautet

Mit der letzen Zeile ihrer Inversen kann die Transformationsmatrix aufgestellt werden

Durch die Transformation wird die erste Standartform des dualen Systems aufgestellt

Das zur ersten Standartform duale System ist die Beobachtungsnormalform des primalen Systems

c) Beobachterentwurf in transformierten Koordinaten

Die Ableitung des Fehlers

zwischen dem System und dem Luenberger-Beobachter

ergibt die Beobachterfehlerdynamik

In Beobachtungsnormalform ergibt sich die Dynamikmatrix der Beobachterfehlerdynamik zu

Die gewünschte Beobachterfehlerdynamik soll das gewünschte charakteristische Polynom erfüllen.

Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die Bestimmungsgleichungen

Die resultierende Beobachterverstärkung

d) Rücktransformation

Die Beobachterverstärkung wird durch

zurücktransformiert, sodass sich ergibt:

e) Überprüfung

Durch Auswertung der Ackermannformel für den Beobachterentwurf

mit ergibt sich

Lösung:

  1. vollständig beobachtbar

  5. siehe Musterlösung