Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System
wobei
Voraussetzung für Aufgabe a) - d)
Zunächst wird zu dem gegebenen LTI-System
das duale System aufgestellt
Hierfür gilt der Zusammenhang
a) Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit
Primales System
Die Kalmansche Steuerbarkeitsmatrix für das primale System lautet
Das System ist offensichtlich vollständig steuerbar.
Aus der Kalmanschen Beobachtbarkeitsmatrix für das primale System folgt
Es kann sofort abgeleitet werden, dass das System nicht beobachtbar ist.
Duales System
Die Kalmansche Steuerbarkeits- und Beobachtbarkeitsmatrix lauten für das duale System
und
Wird die Beziehung zwischen primalen und dualen System eingesetzt, ergeben sich
und
Das duale System ist folglich nicht steuerbar, aber beobachtbar.
b) Transformation in Diagonalform
Primales System
Die Eigenwerte des Systems ergeben sich zu
Die Transfomationsmatrix wird mit den Eigenvektoren aufgestellt
Für die Transformation in Diagonalform wird zusätzlich ihre Inverse benötigt.
Mit
Duales System
Die Eigenwerte des dualen Systems entsprechen den Eigenwerten des primalen Systems und müssen daher nicht erneut bestimmt werden.
Analog zum primalen System werden die Eigenvektoren des dualen Systems
Mit
c) Bestimmung der Übertragungsfunktionen
Primales System
Die Übertragungsfunktion des primalen Systems
hat nur den Rang 1, während das System in Zustandsraumdarstellung die Dimension 2 hat. Es findet folglich eine Pol-/Nullstellenkürzung statt.
Duales System
Zur Berechnung der Übetragungsfunktion des dualen Systems wird die Definitionsgleichung betrachtet
Nun wird die Beziehung zwischen primalen und dualen eingesetzt
Für dieses System muss folglich
d) Interpretation
Da das System nicht vollständing steuer- und beobachtbar ist, entspricht der Nennergrad der Übertragungsfunktion nicht der Systemdimension. Welcher der beiden Eigenschaften nicht erfüllt ist, kann mit Hilfe der Übertragungsfunktion nicht nachgewiesen werden.
Duales System: