2 / 2

Aufgabenstellung:

Wird ein Feder-Masse-System durch eine harmonische Anregung zu erzwungenen Schwingungen angeregt, dann stellt sich - nach dem 'Einschwingvorgang' - ein stationärer Zustand ein. Die Amplitude der stationären Schwingung ist gegeben durch

  • In dieser Beziehung ist
  • Kreisfrequenzverhältnis,
  • Dämprungsgrad des Systems,
  • Masse des schwingenden Körpers,
  • Maximalwert der anregenden harmonischen Kraft

  1. Bestimmen Sie das Kreisfrequenzverhältnis , für das die stationäre Amplitude ein Maximum hat (Resonanzfall). Beschränken Sie sich dabei auf Dämpfungsgrade .
    Hinweis für den Rechengang: Die Amplitudenfunktion hat ein Maximum, wenn der Radikand - die Funktion unter dem Wurzelzeichen - ein Minimum hat.

  2. Setzen Sie in die Amplitudenfunktion ein und bestimmen Sie die zugehörige Resonanzamplitude .

  3. Ein Feder-Masse-System (Masse , Eigenkreisfrequenz und Dämpfungskoeffizient ) wird durch eine harmonische erzwingende Kraft mit dem Maximalwert zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Welche Werte nehmen und an?

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

a) Kreisfrequenzverhältnis für den Resonanzfall:

Die stationäre Amplitude erzwungener Schwingungen ist bei harmonischer Erregung gegeben durch

Man definiert den Radikand zu

Dabei ist (mit ) der Dämpfungsgrad und das Kreisfrequenzverhältnis.

Vorüberlegung: Im dämpfungsfreien Fall geht für der Radikand und die Amplitude wächst über alle Grenzen (Resonanzkatastrophe). Wenn Dämpfung vorliegt kann der Radikand nicht mehr Null werden; die beiden Summanden können zwar Null werden, aber dies nicht gleichzeitig. Damit bleibt der Nenner ungleich Null, er kann zwar sehr klein werden und damit die Resonanzamplitude sehr groß. Physikalisch erwartet man also ein Maximum.

Die Amplitudenfunktion hat ein Maximum, wenn der Radikand ein Minimum hat. Um das Minimum des Radikanden zu finden, bildet man zunächst die 1 . Ableitung nach und setzt diese gleich Null. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv, so liegt ein Minimum vor.

Bilden der 1. und 2. Ableitung:

Um die Extrema - also Funktionsstellen mit horizontaler Tangente - zu finden, setzt man die 1. Ableitung gleich Null, also

Diese Gleichung hat drei Lösungen

Die negative Lösung ist physikalisch nicht sinnvoll, da negative Frequenzen bzw. Frequenzverhältnisse nicht definiert sind. Außerdem muss die Lösung reell sein. Für physikalisch sinnvolle Lösungen muss deshalb gelten

bzw. 

Für wäre nur eine Nullstelle der Ableitung.

Für mathematische Puristen: Für Dämpfungsgrade im Intervall ist zu zeigen, dass der Radikand ein Minimum hat.

Maximum des Radikanden, also Minimum der Amplitudenfunktion.

Minimum des Radikanden, also Maximum der Amplitudenfunktion.

Dieses Maximum der Amplitudenfunktion ist von Interesse. Dieses ist gemeint, wenn man von Resonanz spricht.

Es ergibt sich eine Auslenkung über die statische Auslenkung hinaus; es liegt eine Resonanzüberhöhung vor.

Man benutzt daher den Index 'res' statt des allgemein gültigen mathematischen Ausdrucks Extremum.

Also: Für ergibt sich das Resonanzkreisfrequenzverhältnis

b) Zugehörige Resonanzamplitude

Die Amplitude der erzwungenen Schwingungen ist für den stationären Zustand gegeben durch

Um den Betrag der Resonanzamplitude zu finden, setzt man in die Amplitudenfunktion ein. Es ergibt sich hierbei für den Radikanden

Damit wird die Resonanzamplitude:

Hinweis: Der Gültigkeitsbereich dieser Beziehung ist beschränkt auf , weil für größere Dämpfungsgrade der Radikand negativ wird.

Für den Grenzfall ergibt sich

c) Konkrete Werte für und

Nach Teilaufgaben (a) ist das Resonanzkreisverhältnis

und nach Teilaufgabe (b) ist der Betrag der Resonanzamplitude

Aus den Angaben für Eigenkreisfrequenz des Systems , der Masse des schwingenden Körpers und dem Dämpfungskoeffizient für das gegebene Feder-Masse-System sind Federkonstante und Dämpfungsgrad zu bestimmen.

Aus der Bedingung für die Eigenkreisfrequenz des Systems erhält man

Aus der Beziehung für den Dämpfungskoeffizient ergibt sich der Dämpfungskoeffizient :

Damit ergibt sich für das Resonanz-Kreisfrequenzverhältnis

und daraus die Resonanzamplitude

Dabei ist die statische Auslenkung (d. h. die Auslenkung, die eine Kraft const. hervorrufen würde)

und damit schließlich

Lösung:

  1. Resonanzkreisfrequenzverhältnis
  2. Resonanzamplitude
  3. Statische Auslenkung
    Resonanzamplitude