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Aufgabenstellung:

Ein geschwindigkeitsproportional gedämpftes Feder-Masse-System ist gekennzeichnet und festgelegt durch

  • Masse

  • Federkonstante

  • Dämpfungskoeffizient

Dieses System wird von einer harmonisch erzwingenden Kraft

mit  zu erzwungenen Schwingungen angeregt.

  • Berechnen Sie für den eingeschwungenen, stationären Zustand, für die beiden Erregerkreisfrequenzen und

  1. die jeweils zugehörigen stationären Amplituden und ,

  2. die jeweils zugehörigen Phasenverschiebungen und zwischen den erzwungenen Schwingungen (Antwort des Systems) und der erregenden Kraft (Anregung).

Lösungsweg:

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Grundlagen

Die Lösung der Differentialgleichung erzwungener Schwingungen bei harmonischer Anregung lautet für den stationären Zustand

Dabei sind

  • Stationäre Amplitude
  • Phasenverschiebung zwischen Anregung und Antwort des Systems, es gilt die Beziehung
  • Kreisfrequenzverhältnis
  • Dämprungsgrad Für exponentiell abklingende Schwingungen ist definiert als Quotient aus Abklingkoeffizient durch Eigenkreisfrequenz

Für ein Feder-Masse-System ergibt sich der Zusammenhang zwischen Dämpfungsgrad und Dämpfungskoeffizient zu

Im Folgenden beziehen sich die Indizes ' 1 ' bzw. '2' jeweils auf die beiden erzwingenden Kreisfrequenzen und .

Für das vorliegende System sind zunächst die beiden Systemgrößen Eigenkreisfrequenz und Dämprungsgrad zu bestimmen.

Die Eigenkreisfrequenz erhält man aus der Beziehung

Der Dämpfungsgrad ergibt sich gemäß

Die beiden Frequenzverhältnisse und für die beiden Erregerkreisfrequenzen und sind

also beispielhaft (unterkritisch)

also beispielhaft (überkritisch)

a) Stationäre Amplituden und

Für den eingeschwungenen Zustand erhält man für die stationären Amplituden

Zunächst ergibt sich die vom Dämpfungsgrad und vom Kreisfrequenzverhältnis unabhängige statische Auslenkung zu

Berechnung des Radikanden für das Kreisfrequenzverhältnis

Berechnung des Radikanden für das Kreisfrequenzverhältnis

Mit und folgt schließlich

b) Phasenverschiebungen und

Für die Phasenverschiebung gilt

Phasenverschiebung für das Kreisfrequenzverhältnis

Damit wird , denn für liegt der Winkel im Intervall

Phasenverschiebung für das Kreisfrequenzverhältnis :

Damit wird , denn für liegt der Winkel im Intervall .

Lösung:

  1. Stationäre Amplituden und
  2. Phasenverschiebung
    Kreisfrequenzverhältnis damit
    Kreisfrequenzverhältnis ; damit