1 / 2

Aufgabenstellung:

Gegeben seien die Übertragungsfunktion einer Strecke und die Übertragungsfunktionen von 2 Reglern und .

  1. Berechnen Sie für beide Regler die resultierenden Kreisverstärkungen , die resultierenden Sensitivitäten und die resultierenden komplementären Sensitivitäten .
  2. Bei der Berechnung von tritt eine Pol-Nullstellen-Kürzung auf. Stellt das ein Problem dar?
  3. Berechnen Sie für beide vorgeschlagenen Regler die Systemantwort im eingeschwungen Zustand auf einen Sollwertsprung der Höhe 1 am Eingang. Wie gross ist der statische Regelfehler?
  4. Berechnen Sie für beide vorgeschlagenen Regler die Systemantwort auf eine sprunghafte Störung mit Betrag 1. Berechnen Sie nur die Antwort im eingeschwungen Zustand . Wie gross ist der statische Regelfehler?

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

a) Resultierenden Kreisverstärkungen

Die Übertragungsfunktionen werden wie folgt berechnet:

 

b) Pol-Nullstellen-Kürzung (Problem?)

Die Pol-Nullstellen Kürzung stellt kein Problem dar, da es sich um eine minimalphasige Nullstelle und einen asymptotisch stabilen Pol handelt.

c) Systemantwort im eingeschwungen Zustand auf einen Sollwertsprung

Aus dem Endwertheorem erhält man:

Dies gilt nur, falls der Grenzwert existiert, was hier der Fall ist.

Die Übertragung von Referenzwert nach Systemausgang ist durch die Übertragungsfunktion beschrieben. Des weiteren ist die Laplacetransformierte des Sprungs durch gegeben. Somit folgt:

Somit folgt für die beiden Regler :

Der statische Regelfehler berechnet sich aus der Differenz von Sollwert und Ist-Wert im eingeschwungenen Zustand :

Anhand obiger Rechnung ist erkennbar, dass der statische Regelfehler in diesem Fall alternativ auch wie folgt bestimmt werden kann:

d) Systemantwort auf eine sprunghafte Störung mit Betrag 1.

Die Übertragung von Störung nach Systemausgang ist durch die Übertragungsfunktion beschrieben. Somit erhält man analog zu Aufgabe c):

Somit folgt für die beiden Regler:

Der statische Regelfehler berechnet sich aus der Differenz von Sollwert und Ist-Wert (y) im eingeschwungenen Zustand:

Anhand obiger Rechnung ist erkennbar, dass der statische Regelfehler in diesem Fall alternativ auch wie folgt bestimmt werden kann:

Lösung:

  1. , ; 


    , ;

    ,

  2. stellt kein Problem dar

  4.