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Aufgabenstellung:

Die Modellbildung einer physikalischen Anlage als gedämpftes Federpendel liefert bei äußerer Anregung die normierte Schwingungsgleichung für die normierte Auslenkung .

  1. Bestimmen Sie den komplexen Frequenzgang , den Amplituden-Frequenzgang bzw. und den Phasen-Frequenzgang .
  2. Berechnen Sie und für die Stützwerte . Zeichnen Sie das BODE-Diagramm und kennzeichnen Sie die asymptotischen Verläufe durch Geraden. Bei welcher Kreisfrequenz ,,knicken“ Amplituden- und Phasengang ab?
  3. Wie groß ist die stationäre Verstärkung ?

Lösungsweg:

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1. Bestimmen Sie den komplexen Frequenzgang , den Amplituden-Frequenzgang bzw. und den Phasen-Frequenzgang .

Nach LAPLACE-Transformation für verschwindende Anfangsbedingungen folgt:

Der Frequenzgang ist die Randfunktion der Übertragungsfunktion mit :

Mit den folgenden Ausdrücken für und :

üü

2. Zeichnen Sie das BODE-Diagramm und kennzeichnen Sie die asymptotischen Verläufe

Nun kann der Amplituden- und Phasen-Frequenzgang skizziert werden:

Abbildung

Abbildung

3. Wie groß ist die stationäre Verstärkung ?

Das gleiche Ergebnis folgt aus dem Endwertsatz der LAPLACETransformation, wenn für eine Sprungfunktion angenommen wird:

üü

Da auch ist, folgt:

Auch aus der Schwingungsgleichung selbst kann dies abgelesen werden, da im stationären Fall und gilt:

Lösung:

  1. siehe Lösungsweg
  2. siehe Lösungsweg