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Aufgabenstellung:

Ein HCl-Molekül kann sowohl zu Schwingungen als auch zu Rotationen angeregt werden. Die Energie der Schwingungs-Rotations-Zustände ist gegeben durch

  1. In der Abbildung sehen Sie ein gemessenes Spektrum von Schwingungsrotationszuständen. Es zerfällt in zwei Teile, den P-Zweig und den R-Zweig. Was charakterisiert P- bzw. R-Übergänge? Zeichnen Sie alle erlaubten Übergänge in ein Energieniveauschema für und . Warum gibt es keinen Peak bei ?

    Hinweis:

    Abbildung

  2. Entwickeln Sie eine Formel für die reziproke Wellenlänge in Abhängigkeit des Drehimpulses und des Abstands der Atome.
    Hinweis: Das Rotationsträgheitsmoment hängt klassisch von der reduzierten Masse und dem Abstand zweier Körper ab.

  3. Berechnen Sie wie groß der Abstand R zwischen den beiden Atomen im Molekül ist Bestimmen Sie dazu den mittleren Abstand der Absorptionspeaks aus der Messung.

Lösungsweg:

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a) Charakterisierung von P- bzw. R-Übergängen, Termschema:

Abbildung

Für den P-Zweig gilt ; für den R-Zweig . Im P-Zweig nimmt die Absorptionsenergie mit sinkendem j zu, im R-Zweig mit steigendem.

Der Übergang ist verboten. Daher fehlt diese Linie.

b) Reziproke Wellenlänge

Die Energie eines Rotationszustandes hängt vom Erwartungswert des Gesamtdrehimpulses ab.

Man erhält dann für den Abstand zweier benachbarter Niveaus

Nach Kürzen von Konstanten und Umstellen ergibt sich

c) Abstand R zwischen den beiden Atomen im Molekül

Der Abstand zwischen zwei benachbarten Absorptionspeaks kann aus der Formel aus Aufgabe b hergeleitet werden.

Daraus lässt sich eine Formel für den Kernabstand ableiten

Mit bekommt man einen Kernabstand von . Dies entspricht etwas mehr als dem doppelten Bohrschen Radius und ist somit plausibel.

Lösung:

  1. Für den P-Zweig gilt ; für den R-Zweig .