Grundlagen: Energieniveaus und Feinstruktur

Wellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Aufgabe 2

<p>\[<br />\Phi(r)=-\frac{(Z-1) e}{4 \pi \epsilon_{0} r}-\frac{e}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{Z}{a_{0}}+\frac{1}{r}\right) e^{-2 Z \frac{r}{a_{0}}}<br />\]</p>

<p>Das Potential für das zweite Elektron im He-Atom ist allgemein:</p>


<p>\[<br />\Phi\left(\overrightarrow{r_{2}}\right)=-\frac{Z \cdot e}{4 \pi \epsilon_{0} r_{2}}+\frac{e}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \frac{\left|\Psi_{1 s}\left(r_{1}\right)\right|^{2}}{r_{12}} d \tau<br />\]</p>


<p>Für die Integration über das Kugelvolumen gilt</p>


<p>\[<br />d \tau=r_{1}^{2} d r_{1} \sin \Theta d \Phi<br />\]</p>


<p>So lässt sich das Integral umformen zu</p>


<p>\[<br />I=\int \frac{\left|\Psi_{1 s}\right|^{2}}{r_{12}} r_{1}^{2} \sin \Theta d r_{1} d \Theta d \Phi<br />\]</p>


<p>Substitution mit der Relation $r_{12}^{2}$</p>


<p>Substitution mit der Relation <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="r_{12}^{2}" style="vertical-align: -0.651ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.808ex" height="2.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1241.1 1121.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,-287.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-31"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />r_{12}^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \Theta \]</p>


<p>\[<br />\Rightarrow r_{12} d r_{12}=r_{1} r_{2} \sin \Theta d \Theta \]</p>


<p>Beachte, dass verschiedene Fälle für $ r_{1} &lt; r_{2} $ und $ r_{1} &gt; r_{2} $ gelten.</p>


<p>Beachte, dass verschiedene Fälle für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" r_{1} < r_{2} " style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.033ex" height="1.561ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -540 3108.7 690" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1165.3,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2221.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" r_{1} > r_{2} " style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.033ex" height="1.561ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -540 3108.7 690" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-3E" d="M84 520Q84 528 88 533T96 539L99 540Q106 540 253 471T544 334L687 265Q694 260 694 250T687 235Q685 233 395 96L107 -40H101Q83 -38 83 -20Q83 -19 83 -17Q82 -10 98 -1Q117 9 248 71Q326 108 378 132L626 250L378 368Q90 504 86 509Q84 513 84 520Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1165.3,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2221.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gelten.</p>


<p>Das Abstandsdifferential $ \left(d r_{12}\right. $ muss für jeden dieser Fälle vom minimalen Wert $ r_{2}-r_{1} $ für $ r_{1} &lt; r_{2} $ bzw. $ r_{1}-r_{2} $ für $ r_{1} &gt; r_{2} $ bei $ \Theta=0 $ bis zum Maximalwert $ r_{1}+r_{2} $ bei $ \Theta=\pi $ integriert werden.</p>


<p>\[<br />I=\frac{Z^{3} \pi}{\pi a_{0}}\left[\int_{0}^{r_{2}} d r_{1} \frac{e^{-2 Z \frac{r_{1}}{a_{0}}} r_{1}^{2}}{r_{1} r_{2}} \int_{r_{2}-r_{1}}^{r_{1}+r_{2}} d r_{12}+\int_{r_{2}}^{\infty} d r_{1} \frac{e^{-2 Z \frac{r_{1}}{a_{0}}} r_{1}^{2}}{r_{1} r_{2}} \int_{r_{1}-r_{2}}^{r_{1}+r_{2}} d r_{12}\right]<br />\]</p>


<p>\[<br />I=\frac{Z^{3} \pi}{\pi a_{0}}\left[\int_{0}^{r_{2}} d r_{1} \frac{e^{-2 Z \frac{r_{1}}{a_{0}} r_{1}^{2}}}{r_{1} r_{2}} 2 r_{1}+\int_{r_{2}}^{\infty} d r_{1} \frac{e^{-2 Z \frac{r_{1}}{a_{0}}} r_{1}^{2}}{r_{1} r_{2}} 2 r_{2}\right] \]</p>


<p>\[<br />I=\frac{2 Z^{3}}{a_{0}}\left[\int_{0}^{r_{2}} \frac{e^{-2 Z \frac{r_{1}}{a_{0}}} r_{1}^{2}}{r_{2}} d r_{1}+\int_{r_{2}}^{\infty} e^{-2 Z \frac{r_{1}}{a_{0}}} r_{1} d r_{1}\right]<br />\]</p>


<p>Ausgeführt ergeben sich für $I_{1}$ und $I_{2}$</p>


<p>Ausgeführt ergeben sich für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="I_{1}" style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.983ex" height="1.885ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 876.6 833" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="I_{2}" style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.983ex" height="1.885ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 876.6 833" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-22-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />I_{1}=\left(-\frac{r_{2} a_{0}}{Z}-\frac{a_{0}^{2}}{Z^{2}}-\frac{a_{0}^{3}}{2 r_{2} Z^{3}}\right) e^{-2 Z \frac{r_{2}}{a_{0}}}<br />\]</p>


<p>\[<br />I_{2}=\left(\frac{a_{0} r_{2}}{Z}+\frac{a_{0}^{2}}{2 Z^{2}}\right) e^{-2 Z \frac{r_{2}}{a_{0}}}<br />\]</p>


<p>Als Potential erhält man mit $ r=r_{2} $</p>


<p>Als Potential erhält man mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" r=r_{2} " style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.045ex" height="1.658ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 2672.1 733" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-25-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-25-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(728.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-25-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1784.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-25-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-25-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\Phi(r)=-\frac{(Z-1) e}{4 \pi \epsilon_{0} r}-\frac{e}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{Z}{a_{0}}+\frac{1}{r}\right) e^{-2 Z \frac{r}{a_{0}}}<br />\]</p>
<p>Für das Heliumatom gilt natürlich $ Z=2 $</p>

<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\Phi(r)=-\frac{(Z-1) e}{4 \pi \epsilon_{0} r}-\frac{e}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{Z}{a_{0}}+\frac{1}{r}\right) e^{-2 Z \frac{r}{a_{0}}}
" style="vertical-align: -2.148ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="44.43ex" height="5.451ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1460 19638 2409.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-26-TEX-N-3A6" d="M312 622Q310 623 307 625T303 629T297 631T286 634T270 635T246 636T211 637H184V683H196Q220 680 361 680T526 683H538V637H511Q468 637 447 635T422 631T411 622V533L425 531Q525 519 595 466T665 342Q665 301 642 267T583 209T506 172T425 152L411 150V61Q417 55 421 53T447 48T511 46H538V0H526Q502 3 361 3T196 0H184V46H211Q231 46 245 46T270 47T286 48T297 51T303 54T307 57T312 61V150H310Q309 151 289 153T232 166T160 195Q149 201 136 210T103 238T69 284T56 342Q56 414 128 467T294 530Q309 532 310 533H312V622ZM170 342Q170 207 307 188H312V495H309Q301 495 282 491T231 469T186 423Q170 389 170 342ZM415 188Q487 199 519 236T551 342Q551 384 539 414T507 459T470 481T434 491T415 495H410V188H415Z"></path><path id="MJX-26-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-26-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-26-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path 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<p>Für das Heliumatom gilt natürlich <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" Z=2 " style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.784ex" height="1.731ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2556.6 765" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-27-TEX-I-1D44D" d="M58 8Q58 23 64 35Q64 36 329 334T596 635L586 637Q575 637 512 637H500H476Q442 637 420 635T365 624T311 598T266 548T228 469Q227 466 226 463T224 458T223 453T222 450L221 448Q218 443 202 443Q185 443 182 453L214 561Q228 606 241 651Q249 679 253 681Q256 683 487 683H718Q723 678 723 675Q723 673 717 649Q189 54 188 52L185 49H274Q369 50 377 51Q452 60 500 100T579 247Q587 272 590 277T603 282H607Q628 282 628 271Q547 5 541 2Q538 0 300 0H124Q58 0 58 8Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44D" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D44D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1000.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2056.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Wie sieht das Potential für das zweite Elektron im He-Atom aus, wenn das erste Elektron durch eine 1s-Wellenfunktion beschrieben werden kann. Dabei soll die Wechselwirkung zwischen den beiden Elektronen nur summarisch berücksichtigt werden.</p>
<p><strong>Hinweis:</strong></p>
<p>\[\quad  \Psi_{1 s}=\frac{Z^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\pi} a_{0}^{\frac{3}{2}}} e^{-Z \frac{r_{1}}{a_{0}}} \]</p>

<p>Wie sieht das Potential für das zweite Elektron im He-Atom aus, wenn das erste Elektron durch eine 1s-Wellenfunktion beschrieben werden kann. Dabei soll die Wechselwirkung zwischen den beiden Elektronen nur summarisch berücksichtigt werden.</p>
<p><strong>Hinweis:</strong></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad  \Psi_{1 s}=\frac{Z^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\pi} a_{0}^{\frac{3}{2}}} e^{-Z \frac{r_{1}}{a_{0}}} " style="vertical-align: -3.352ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.252ex" height="7.085ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1650.1 9393.4 3131.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-N-3A8" d="M340 622Q338 623 335 625T331 629T325 631T314 634T298 635T274 636T239 637H212V683H224Q248 680 389 680T554 683H566V637H539Q479 637 464 635T439 622L438 407Q438 192 439 192Q443 193 449 195T474 207T507 232T536 276T557 344Q560 365 562 417T573 493Q587 536 620 544Q627 546 671 546H715L722 540V515Q714 509 708 509Q680 505 671 476T658 392T644 307Q599 177 451 153L438 151V106L439 61Q446 54 451 52T476 48T539 46H566V0H554Q530 3 389 3T224 0H212V46H239Q259 46 273 46T298 47T314 48T325 51T331 54T335 57T340 61V151Q126 178 117 406Q115 503 69 509Q55 509 55 526Q55 541 59 543T86 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Wellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen The

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: