Kernspin und NMR-Spektroskopie

Spin-Bahnkopplung

Zeeman- und Stark-Effekt

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Dipolübergänge

<p>\[<br />\mathcal{M}_{i k}=0<br />\]</p>

<p>Der Dipoloperator ist \( \mathbf{p}=e \mathbf{r} \). Also:</p>


<p>Der Dipoloperator ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathbf{p}=e \mathbf{r} " style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.589ex" height="1.758ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 2912.6 777" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-163-TEX-B-1D429" d="M32 442L123 446Q214 450 215 450H221V409Q222 409 229 413T251 423T284 436T328 446T382 450Q480 450 540 388T600 223Q600 128 539 61T361 -6H354Q292 -6 236 28L227 34V-132H296V-194H287Q269 -191 163 -191Q56 -191 38 -194H29V-132H98V113V284Q98 330 97 348T93 370T83 376Q69 380 42 380H29V442H32ZM457 224Q457 303 427 349T350 395Q282 395 235 352L227 345V104L233 97Q274 45 337 45Q383 45 420 86T457 224Z"></path><path id="MJX-163-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-163-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path id="MJX-163-TEX-B-1D42B" d="M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D429" xlink:href="#MJX-163-TEX-B-1D429"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(916.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-163-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1972.6,0)"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-163-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2438.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D42B" xlink:href="#MJX-163-TEX-B-1D42B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Also:</p>


<p>\[<br />\mathcal{M}=e \int \psi_{f}^{*} \mathbf{r} \psi_{i} \mathrm{~d} \tau<br />\]</p>


<p>Einsetzen der Wellenfunktionen für die angegebenen Zustände liefert:</p>


<p>\[<br />\mathcal{M}=a \int_{V}\left(2-\frac{r}{a_{0}}\right) \exp \left[-\frac{3 r}{\left(2 a_{0}\right)}\right] \mathbf{r} \cdot r^{2} \sin \theta \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta \mathrm{d} r<br />\]</p>


<p>Explizites Einsetzen des Vektors \( \mathbf{r} \), also \( x=r \sin \varphi \cos \theta, y=r \sin \theta \sin \varphi \) und \( z=r \cos \theta \) ergibt für die Ausführung des Integrals:</p>


<p>Explizites Einsetzen des Vektors <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathbf{r} " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.072ex" height="1.018ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -450 474 450" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-166-TEX-B-1D42B" d="M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D42B" xlink:href="#MJX-166-TEX-B-1D42B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x=r \sin \varphi \cos \theta, y=r \sin \theta \sin \varphi " style="vertical-align: -0.493ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.944ex" height="2.088ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 13677.1 923" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-167-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-167-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-167-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-167-TEX-I-1D703" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path id="MJX-167-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-167-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2523.2,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3751.2,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3917.9,0)"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4738.6,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6076.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6243.2,0)"><use data-c="1D703" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D703"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6712.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7156.9,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7924.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8980.4,0)"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9598.1,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10826.1,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10992.8,0)"><use data-c="1D703" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D703"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11628.4,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12856.4,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(13023.1,0)"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-167-TEX-I-1D711"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" z=r \cos \theta " style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.932ex" height="1.781ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 4389.9 787" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-168-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-168-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-168-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-168-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-168-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-168-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-168-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-168-TEX-I-1D703" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-168-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-168-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1798.6,0)"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-168-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2416.2,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-168-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-168-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-168-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3754.2,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-168-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3920.9,0)"><use data-c="1D703" xlink:href="#MJX-168-TEX-I-1D703"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt für die Ausführung des Integrals:</p>


<p>Das Dipolmatrixelement ist gegeben durch \( \mathcal{M}=\int \psi_{f}^{*} \mathbf{p} \psi_{i} \mathrm{~d} \tau . \) Berechnen Sie dieses Matrixelement für den Übergang \( 1 s \) nach \( 2 s \).</p>

<p>Das Dipolmatrixelement ist gegeben durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathcal{M}=\int \psi_{f}^{*} \mathbf{p} \psi_{i} \mathrm{~d} \tau . " style="vertical-align: -0.986ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.312ex" height="2.808ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -805.5 7652.1 1241.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-160-TEX-C-4D" d="M28 9Q28 37 43 63T73 90Q77 90 83 84T103 70T141 57H146Q162 57 178 79T222 167Q266 279 295 371T334 513T349 598T358 651T371 677Q397 705 432 705Q442 705 445 699T452 666Q453 661 453 659Q475 538 509 405T568 207L574 192Q581 178 587 164T594 150Q596 150 635 189T693 248Q765 324 863 438T1024 626T1089 701Q1093 705 1100 705Q1111 705 1111 682Q1111 675 1108 660T1099 611T1086 540Q1041 277 1041 144Q1041 98 1044 75T1050 48T1059 42Q1064 41 1075 46Q1102 61 1121 61Q1137 61 1137 50Q1137 28 1087 0T1000 -29Q983 -29 972 -23T955 -9T945 16T942 45T941 83V96Q941 158 952 256T974 422L985 489Q984 489 939 436T821 300T698 164Q665 128 620 85T568 37Q564 34 558 34Q550 34 546 37T535 54Q512 91 496 127T450 259T389 498L384 518Q349 367 294 223T198 15Q155 -50 117 -50Q87 -50 61 -35T30 -6Q28 2 28 9Z"></path><path id="MJX-160-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-160-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244Z"></path><path id="MJX-160-TEX-I-1D713" d="M161 441Q202 441 226 417T250 358Q250 338 218 252T187 127Q190 85 214 61Q235 43 257 37Q275 29 288 29H289L371 360Q455 691 456 692Q459 694 472 694Q492 694 492 687Q492 678 411 356Q329 28 329 27T335 26Q421 26 498 114T576 278Q576 302 568 319T550 343T532 361T524 384Q524 405 541 424T583 443Q602 443 618 425T634 366Q634 337 623 288T605 220Q573 125 492 57T329 -11H319L296 -104Q272 -198 272 -199Q270 -205 252 -205H239Q233 -199 233 -197Q233 -192 256 -102T279 -9Q272 -8 265 -8Q106 14 106 139Q106 174 139 264T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 299 34 333T82 404T161 441Z"></path><path id="MJX-160-TEX-N-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path><path id="MJX-160-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-160-TEX-B-1D429" d="M32 442L123 446Q214 450 215 450H221V409Q222 409 229 413T251 423T284 436T328 446T382 450Q480 450 540 388T600 223Q600 128 539 61T361 -6H354Q292 -6 236 28L227 34V-132H296V-194H287Q269 -191 163 -191Q56 -191 38 -194H29V-132H98V113V284Q98 330 97 348T93 370T83 376Q69 380 42 380H29V442H32ZM457 224Q457 303 427 349T350 395Q282 395 235 352L227 345V104L233 97Q274 45 337 45Q383 45 420 86T457 224Z"></path><path id="MJX-160-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-160-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-160-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-160-TEX-I-1D70F" d="M39 284Q18 284 18 294Q18 301 45 338T99 398Q134 425 164 429Q170 431 332 431Q492 431 497 429Q517 424 517 402Q517 388 508 376T485 360Q479 358 389 358T299 356Q298 355 283 274T251 109T233 20Q228 5 215 -4T186 -13Q153 -13 153 20V30L203 192Q214 228 227 272T248 336L254 357Q254 358 208 358Q206 358 197 358T183 359Q105 359 61 295Q56 287 53 286T39 284Z"></path><path id="MJX-160-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4D" xlink:href="#MJX-160-TEX-C-4D"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1478.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-160-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2534.6,0) translate(0 0.5)"><use data-c="222B" xlink:href="#MJX-160-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(3311.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-160-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(684,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2217" xlink:href="#MJX-160-TEX-N-2217"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(684,-290.8) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-160-TEX-I-1D453"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4434.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D429" xlink:href="#MJX-160-TEX-B-1D429"></use></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5073.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-160-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(684,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-160-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(6051.1,0)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-160-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250,0)"><use data-c="64" xlink:href="#MJX-160-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6857.1,0)"><use data-c="1D70F" xlink:href="#MJX-160-TEX-I-1D70F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7374.1,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-160-TEX-N-2E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Berechnen Sie dieses Matrixelement für den Übergang <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 1 s " style="vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.192ex" height="1.529ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 969 676" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-161-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-161-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-161-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-161-TEX-I-1D460"></use></g></g></g></svg></mjx-container> nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 2 s " style="vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.192ex" height="1.529ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 969 676" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-162-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-162-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-162-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-162-TEX-I-1D460"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Zeeman- und Stark-Effekt mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Bahn- und Spinmagnetismus - Zeeman- und Stark-Effekt | Aufgabe mit Lös

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: