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Aufgabenstellung:

Gegeben sei ein kugelförmiger Potentialtopf mit für und für

  1. Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion
    eine Lösung der Schrödingergleichung dieses Systems ist. Bestimmen Sie die Werte für und in diesem System.
  2. Wie groß ist der Drehimpuls des Teilchens?

Lösungsweg:

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a) Lösung der Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten lautet

Für die angegebene Funktion gilt offensichtlich für die Ableitungen:

Die -abhängigen Anteile ergeben nach etwas Rechnung:

Damit ist die Energie:

Die Wellenfunktion muss bei verschwinden. Das funktioniert nur für . Damit ist

b) Drehimpuls des Teilchens

Der Drehimpuls des Teilchens ist in jedem Fall 0, da die Wellenfunktion offensichtlich nicht winkelabhängig ist (vgl. hierzu den Zusammenhang des Laplaceoperators in Kugelkoordinaten mit dem Drehimpulsoperator).

Lösung:

  2. Drehimpuls des Teilchens ist in jedem Fall