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Aufgabenstellung:

Der Hamiltonoperator eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch

  1. Gegeben sei nun die Wellenfunktion

    Berechnen Sie hiermit den Erwartungswert des Hamiltonoperators. Verwenden Sie


    Betrachten Sie nun ein Teilchen, auf das die Kraft mit wirkt.

  2. Stellen Sie die dazugehörige Schrödingergleichung auf. Zeigen Sie, dass es sich um einen harmonischen Oszillator handelt.

  3. Geben Sie die Energieeigenwerte des Teilchens an.

Lösungsweg:

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a) Erwartungswert des Hamiltonoperators

Normierung der Wellenfunktion liefert zunächst

Man kann nun den Erwartungswert berechnen:

b) Dazugehörige Schrödingergleichung

Das Potential erhält man durch einfache Integration, da :

Durch Umformen mit und ergibt sich:

Dieses Potential setzt man nun in die Schrödingergleichung ein:

Um zu zeigen, dass es sich um einen harmonischen Oszillator handelt, ersetzt und

c) Die Energieeigenwerte sind entsprechend verschoben:

Lösung: