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Aufgabenstellung:

Die Linse eines gesunden menschlichen Auges kann ein scharfes Bild von Gegenständen auf der Netzhaut erzeugen, die mindestens entfernt sind. Der Abstand zwischen Netzhaut und Linse beträgt etwa

  1. Welche Brennweite nimmt die Linse an, wenn das Auge auf unendlich fokussiert? Welche wenn es auf einen Gegenstand in Entfernung fokussiert?
  2. Durch eine Verformung des Augapfels hat sich der Abstand zwischen Netzhaut und Linse auf vergrößert. Ist das Auge kurz- oder weitsichtig geworden? Welche Brennweite muss eine Brille haben, die sich vor dem Auge befindet, um diesen Effekt wieder auszugleichen?
  3. Jetzt hat sich der Augapfel auf verkürzt. Tritt die Fehlsichtigkeit nun im Nah- oder im Fernbereich auf? Welche Brennweite muss die Brille jetzt haben, um in diesem Bereich die alte Sehschärfe wiederherzustellen?

Lösungsweg:

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a) Brennweite bei Fokus auf unendlich und 25 cm

Fokussiert das Auge auf unendlich, so gilt und somit Wird ein Gegenstand in Entfernung fokussiert, erhält man mithilfe der Linsengleichung

b) Kurz- oder weitsichtig

Bei maximaler Entspannung des Auges (also wenn es auf unendlich fokussiert) liegt die Bildebene durch die Verformung des Augapfels nun vor der Netzhaut. Weit entfernte Gegenstände können deshalb nicht mehr scharf abgebildet werden, das Auge ist also kurzsichtig geworden. Die Brennweite der Linse des Auges beträgt hier (vgl. Teilaufgabe a) und bildet mit der Linse der Brille mit gesuchter Brennweite ein Linsensystem, das eine Bildweite von haben muss.

Für die Brennweite eines Linsensystems gilt

wobei der Abstand der Linsen ist. Einsetzen in die Linsengleichung

und Auflösen auf liefert

also eine (konkave) Streulinse.

c) Brennweite einer Brill bei Verkürzung des Augapfels

Liegt der Fokus des Auges auf einem Gegenstand im Nahbereich , befindet sich die Bildebene nun hinter der Netzhaut. Das Auge ist nun weitsichtig. Analog zu Aufgabenteil b) benötigen wir die Gleichung für die Brennweite eines Linsensystems und die Linsengleichung. Dabei beträgt , und (da Fokus im Nahbereich, vgl. a)).

Mit der Linsengleichung erhalten wir die erforderliche Brennweite des Linsensystems als:

Einsetzen in die Gleichung für die Brennweite eines Linsensystems und Auflösen auf liefert

also eine (konvexe) Sammellinse.

Lösung: