Anfangswertprobleme :)

Newton Verfahren

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Anwendungen der Differentialrechnung

<p>Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen der Parametergleichungen. Differenziert wird jeweils nach der Produktregel in Verbindung mit der Kettenregel:</p>


<p>\[<br />x=\underbrace{(\sin t)}_{u} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-t}}_{v}=u v \]</p>


<p>\[u=\sin t, \quad v=\mathrm{e}^{-t} \]</p>


<p>\[\dot{u}=\cos t, \quad \dot{v}=-\mathrm{e}^{-t}<br />\]</p>


<p>(Ableitung von $ v $ nach der Kettenregel, Substitution: $ z=-t $ )</p>


<p>(Ableitung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-681-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-681-TEX-I-1D463"></use></g></g></g></svg></mjx-container> nach der Kettenregel, Substitution: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" z=-t " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.646ex" height="1.602ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 2937.6 708" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-682-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-682-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-682-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-682-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-682-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-682-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1798.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-682-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2576.6,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-682-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> )</p>


<p>\[<br />\dot{x}=\dot{u} v+\dot{v} u=(\cos t) \cdot \mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t} \cdot \sin t=(\cos t-\sin t) \cdot \mathrm{e}^{-t}<br />\]</p>


<p>\[<br />\dot{x}=\underbrace{(\cos t-\sin t)}_{u} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-t}}_{v}=u v \]</p>


<p>\[u=\cos t-\sin t, \quad v=\mathrm{e}^{-t}\]</p>


<p>\[\dot{u}=-\sin t-\cos t, \quad \dot{v}=-\mathrm{e}^{-t}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\ddot{x} &amp;=\dot{u} v+\dot{v} u=(-\sin t-\cos t) \cdot \mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t} \cdot(\cos t-\sin t)=\\<br />&amp;=(-\sin t-\cos t-\cos t+\sin t) \cdot \mathrm{e}^{-t}=-2(\cos t) \cdot \mathrm{e}^{-t}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Analog erhält man $ \dot{y} $ und $ \ddot{y} $ :</p>


<p>Analog erhält man <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \dot{y} " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -767 490 972" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-688-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-688-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-688-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(300.6,-2) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-688-TEX-N-2D9"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \ddot{y} " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="2.188ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -762 490 967" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-689-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-689-TEX-N-A8" d="M95 612Q95 633 112 651T153 669T193 652T210 612Q210 588 194 571T152 554L127 560Q95 577 95 612ZM289 611Q289 634 304 649T335 668Q336 668 340 668T346 669Q369 669 386 652T404 612T387 572T346 554Q323 554 306 570T289 611Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-689-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(300.6,-7) translate(-250 0)"><use data-c="A8" xlink:href="#MJX-689-TEX-N-A8"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />y=\underbrace{(\cos t)}_{u} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-t}}_{v}=u v \]</p>


<p>\[u=\cos t, \quad v=\mathrm{e}^{-t} \quad \]</p>


<p>\[\dot{u}=-\sin t, \quad \dot{v}=-\mathrm{e}^{-t}<br />\]</p>


<p>\[<br />\dot{y}=\dot{u} v+\dot{v} u=(-\sin t) \cdot \mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t} \cdot \cos t=(-\sin t-\cos t) \cdot \mathrm{e}^{-t}<br />\]</p>


<p>\[<br />\dot{y}=\underbrace{(-\sin t-\cos t)}_{u} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-t}}_{v}=u v \]</p>


<p>\[u=-\sin t-\cos t, \quad v=\mathrm{e}^{-t} \]</p>


<p>\[\dot{u}=-\cos t+\sin t, \quad \dot{v}=-\mathrm{e}^{-t}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\ddot{y} &amp;=\dot{u} v+\dot{v} u=(-\cos t+\sin t) \cdot \mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t} \cdot(-\sin t-\cos t)\\<br />&amp;=(-\cos t+\sin t+\sin t+\cos t) \cdot \mathrm{e}^{-t}=2(\sin t) \cdot \mathrm{e}^{-t}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p><strong>Geschwindigkeit</strong> $ v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} $ (die Geschwindigkeitskomponenten $ \dot{x} $ und $ \dot{y} $ stehen senkrecht aufeinander)</p>


<p><strong>Geschwindigkeit</strong> <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} " style="vertical-align: -0.569ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.566ex" height="2.851ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1008.5 5996.1 1260" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-698-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-698-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-698-TEX-SO-221A" d="M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 1013 844T1020 832V826L741 243Q645 43 540 -176Q479 -303 469 -324T453 -348Q449 -350 436 -350L424 -349L315 -96Q206 156 205 156L171 130Q138 104 137 104L111 130L263 249Z"></path><path id="MJX-698-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-698-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-698-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-698-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-698-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 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transform="translate(300.6,-2) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-698-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-698-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,98.5)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-698-TEX-SO-221A"></use></g><rect width="3157.6" height="60" x="1020" y="888.5"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> (die Geschwindigkeitskomponenten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \dot{x} " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.76ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -767 572 778" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-699-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-699-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-699-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(313.8,-2) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-699-TEX-N-2D9"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \dot{y} " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -767 490 972" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-700-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-700-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-700-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(300.6,-2) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-700-TEX-N-2D9"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> stehen senkrecht aufeinander)</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />v^{2} &amp;=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=(\cos t-\sin t)^{2} \cdot \mathrm{e}^{-2 t}+(-\sin t-\cos t)^{2} \cdot \mathrm{e}^{-2 t}\\<br />&amp;=\left[(\cos t-\sin t)^{2}+(-\sin t-\cos t)^{2}\right] \cdot \mathrm{e}^{-2 t}\\<br />&amp;=\left(\cos ^{2} t-2 \cdot \sin t \cdot \cos t+\sin ^{2} t+\sin ^{2} t+2 \cdot \sin t \cdot \cos t+\cos ^{2} t\right) \cdot \mathrm{e}^{-2 t}\\<br />&amp;=\left(2 \cdot \cos ^{2} t+2 \cdot \sin ^{2} t\right) \cdot \mathrm{e}^{-2 t}=2\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right) \cdot \mathrm{e}^{-2 t}=2 \cdot 1 \cdot \mathrm{e}^{-2 t}=2 \cdot \mathrm{e}^{-2 t}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>(unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras $ \left.\cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1\right) $. Somit gilt:</p>


<p>(unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left.\cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1\right) " style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.119ex" height="2.752ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -867 8008.4 1216.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-702-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-702-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 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xlink:href="#MJX-702-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1371,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1774.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1941.2,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-702-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2524.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3524.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1261,396.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5189.2,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5355.9,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-702-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5994.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7050.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-702-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7550.4,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-702-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Somit gilt:</p>


<p>\[<br />v=\sqrt{2 \cdot \mathrm{e}^{-2 t}}=\sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{-t} \Rightarrow v(t=\pi)=\sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{-\pi}=0,0611 \quad\left(\mathrm{e}^{-2 t}=\mathrm{e}^{-t} \cdot \mathrm{e}^{-t}=\left(\mathrm{e}^{-t}\right)^{2}\right)<br />\]</p>


<p><strong>Beschleunigung </strong>$ a=\sqrt{\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}} $ (die Beschleunigungskomponenten $ \ddot{x} $ und $ \ddot{y} $ stehen senkrecht aufeinander)</p>


<p><strong>Beschleunigung </strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a=\sqrt{\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}} " style="vertical-align: -0.575ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.665ex" height="2.851ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1006 6040.1 1260" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-704-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-704-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 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data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-705-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(313.8,-7) translate(-250 0)"><use data-c="A8" xlink:href="#MJX-705-TEX-N-A8"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \ddot{y} " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="2.188ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -762 490 967" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-706-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 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translate(-250 0)"><use data-c="A8" xlink:href="#MJX-706-TEX-N-A8"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> stehen senkrecht aufeinander)</p>


<p>\[<br />a^{2}=\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}=4\left(\cos ^{2} t\right) \cdot \mathrm{e}^{-2 t}+4\left(\sin ^{2} t\right) \cdot \mathrm{e}^{-2 t}=4 \underbrace{\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)}_{1} \cdot \mathrm{e}^{-2 t}=4 \cdot \mathrm{e}^{-2 t} \]</p>


<p>\[<br />a=\sqrt{4 \cdot \mathrm{e}^{-2 t}}=2 \cdot \mathrm{e}^{-t} \]</p>


<p>\[\Rightarrow a(t=\pi)=2 \cdot \mathrm{e}^{-\pi}=0,0864<br />\]</p>

<p>Die Bahnkurve eines Massenpunktes in der $ x, y $-Ebene wird durch die Gleichungen</p>
<p>\[<br />x=x(t)=(\sin t) \cdot \mathrm{e}^{-t}, \quad y=y(t)=(\cos t) \cdot \mathrm{e}^{-t}, \quad t \geq 0<br />\]</p>
<p>beschrieben. Bestimmen Sie Geschwindigkeit $ v $ und Beschleunigung a zur Zeit $ t=\pi $.</p>

<p>Die Bahnkurve eines Massenpunktes in der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x, y " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.409ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1506.7 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-674-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-674-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-674-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-674-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-674-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1016.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-674-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Ebene wird durch die Gleichungen</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
x=x(t)=(\sin t) \cdot \mathrm{e}^{-t}, \quad y=y(t)=(\cos t) \cdot \mathrm{e}^{-t}, \quad t \geq 0
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="54.541ex" height="2.501ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -855.6 24107.1 1105.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-675-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-675-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 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<p>beschrieben. Bestimmen Sie Geschwindigkeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-676-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-676-TEX-I-1D463"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und Beschleunigung a zur Zeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t=\pi " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.123ex" height="1.602ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 2264.6 708" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-677-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-677-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-677-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-677-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-677-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1694.6,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-677-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Fourierreihe mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Fourierreihe | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
<p><strong>Konstantenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Faktorregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Potenzregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Summenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Produktregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Kettenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Quotientenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: