Stetigkeit

Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten

Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

Hyperbel und Areafunktionen

Trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion, Logarithmus

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen

<p>$y(t) =18,03 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{e}^{-0,1 t / \mathrm{s}} \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t+0,983\right) \quad(t \geq 0 \mathrm{~s})$</p>

<p>Aus der gegeben Gleichung für $y(t)$ folgt unmittelbar durch Kürzen der e-Funktion:</p>


<p>Aus der gegeben Gleichung für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.686ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1629 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-36-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-36-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-36-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-36-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-36-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-36-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-36-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1240,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-36-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt unmittelbar durch Kürzen der e-Funktion:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />5 \operatorname{cm}\left[2 \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t\right)+3 \cdot \cos \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t\right)\right] &amp;=10 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t\right)+15 \mathrm{~cm} \cdot \cos \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t\right)\\<br />&amp;=A \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t+\varphi\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Die beiden gleichfrequenten ungedämpften Einzelschwingungen</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />x_{1}(t)=10 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t\right)\]</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[x_{2}(t)=15 \mathrm{~cm} \cdot \cos \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t\right)<br />\]</p>
<p>können also durch die resultierende Sinusschwingung</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)=A \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t+\varphi\right)<br />\]</p>
<p>ersetzt werden.</p>


<p>Bestimme die Amplitude $ A $ und den Nullphasenwinkel $ \varphi $ aus einem entsprechendem Zeigerdiagramm:</p>


<p>Bestimme die Amplitude <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-41-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-41-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und den Nullphasenwinkel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varphi " style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-42-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D711"></use></g></g></g></svg></mjx-container> aus einem entsprechendem Zeigerdiagramm:</p>


<p>Berechne $A$ über den Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):</p>


<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-43-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-43-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> über den Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):</p>


<p>\[<br />A^{2}=(10 \mathrm{~cm})^{2}+(15 \mathrm{~cm})^{2}=(100+225) \mathrm{cm}^{2}=325 \mathrm{~cm}^{2}<br />\]</p>
<p>\[A=\sqrt{325} \mathrm{~cm}=18,03 \mathrm{~cm}<br />\]</p>


<p>Bestimme $\varphi$ mittels Tangens</p>


<p>Bestimme <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\varphi" style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-46-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-46-TEX-I-1D711"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mittels Tangens</p>


<p>\[<br />\tan \varphi=\frac{15 \mathrm{~cm}}{10 \mathrm{~cm}}=1,5\]</p>
<p>\[\Rightarrow \quad \varphi=\arctan 1,5=56,31^{\circ} \cong 0,983<br />\]</p>


<p>Somit gilt für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x(t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.871ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1711 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-49-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-49-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-49-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-49-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-49-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-49-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-49-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1322,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-49-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[ x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)=18,03 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t+0,983\right) \)</p>


<p>Darstellung der gedämpften Schwingung in der Sinusform:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />y(t) &amp;=\mathrm{e}^{-0,1 t / \mathrm{s}} \cdot x(t)=\mathrm{e}^{-0,1 t / \mathrm{s}} \cdot 18,03 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t+0,983\right) \\<br />&amp;=18,03 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{e}^{-0,1 t / \mathrm{s}} \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t+0,983\right) \quad(t \geq 0 \mathrm{~s})<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>Die gedämpfte mechanische Schwingung mit der Funktionsgleichung</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />y(t)=5 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{e}^{-0,1 t / \mathrm{s}} \cdot\left[2 \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t\right)+3 \cdot \cos \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t\right)\right], \quad t \geq 0 \mathrm{~s}<br />\]</p>
<p>kann als Überlagerung zweier gleichfrequenter gedämpfter Schwingungen aufgefasst werden.</p>
<p>Bringen Sie diese Schwingung mit Hilfe des Zeigerdiagramms auf die folgende ,,Sinusform":</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />y(t)=A \cdot \mathrm{e}^{-0,1 t / \mathrm{s}} \cdot \sin \left(2 \mathrm{~s}^{-1} \cdot t+\varphi\right) \quad(\text { mit } A &gt; 0 \text { und } 0 \leq \varphi &lt; 2 \pi)<br />\]</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Trigonometrische Funktionen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Funktionen - Trigonometrische Funktionen | Aufgabe mit Lösung

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