Stetigkeit

Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten

Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

Hyperbel und Areafunktionen

Trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion, Logarithmus

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Umwandlung trigonometrischer Polynome

<ol style="list-style-type: lower-roman;">
<li>
<p>$\sin (3 t) \cos ^{2}(2 t)=3 \sin t \cos ^{6} t-7 \sin ^{3} t \cos ^{4} t+5 \sin ^{5} t \cos ^{2} t-\sin ^{7} t$<br />keine eindeutige Darstellung wegen $ \cos ^{2} t=1-\sin ^{2} t $</p>
</li>
<li>\[<br />\sin (3 t) \cos ^{2}(2 t)=-\frac{1}{4} \sin (t)+\frac{1}{2} \sin (3 t)+\frac{1}{4} \sin (7 t)<br />\]</li>
</ol>

<p>(i) Polynom in $ \sin t $ und $ \cos t $ :</p>


<p>(i) Polynom in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sin t " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.972ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -669 1755.7 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-123-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-123-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-123-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-123-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-123-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-123-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-123-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-123-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1228,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-123-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" 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411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-124-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-124-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-124-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-124-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-124-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-124-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1338,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-124-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1504.7,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-124-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha\]</p>
<p>\[\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\]</p>


<p>Anwendung mit $ (\alpha, \beta)=(2 t, t),(t, t) $</p>


<p>Anwendung mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (\alpha, \beta)=(2 t, t),(t, t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.448ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8596.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-127-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-127-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 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<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\sin (3 t) &amp;=\sin (2 t) \cos t+\sin t \cos (2 t) \\<br />&amp;=2 \sin t \cos t \cos t+\sin t\left(\cos ^{2} t-\sin ^{2} t\right) \\<br />&amp;=3 \sin t \cos ^{2} t-\sin ^{3} t \\\\<br />\cos ^{2}(2 t) &amp;=\left(\cos ^{2} t-\sin ^{2} t\right)^{2} \\<br />&amp;=\cos ^{4} t-2 \cos ^{2} t \sin ^{2} t+\sin ^{4} t<br />\end{aligned}</p>


<p>\[<br />\sin (3 t) \cos ^{2}(2 t)=3 \sin t \cos ^{6} t-7 \sin ^{3} t \cos ^{4} t+5 \sin ^{5} t \cos ^{2} t-\sin ^{7} t<br />\]</p>
<p>keine eindeutige Darstellung wegen $ \cos ^{2} t=1-\sin ^{2} t $</p>


<p>(ii) Linearkombination von $ \sin (k t) $ und $ \cos (k t) $ :</p>


<p>(ii) Linearkombination von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sin (k t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.534ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2888 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-131-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-131-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 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<p>Formel von Euler-Moivre für $\cos(\varphi)$ und $\sin(\varphi)$ aufschreiben</p>


<p>Formel von Euler-Moivre für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\cos(\varphi)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.267ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2770 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-133-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-133-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path 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<p>\[\cos \varphi=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varphi}\right)\]</p>
<p>\[\sin \varphi=\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varphi}\right)\]</p>


<p>Es folgt die komplexe Form des Ausdrucks $ \sin (3 t) \cos ^{2}(2 t)$</p>


<p>Es folgt die komplexe Form des Ausdrucks <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sin (3 t) \cos ^{2}(2 t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.586ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 6447.2 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-137-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-137-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 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xlink:href="#MJX-137-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{3 i t}-\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} t}\right) \cdot \frac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} t}+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} t}\right)^{2} \\<br />&amp;\quad=\frac{1}{8 \mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} t}-\mathrm{e}^{-3 i t}\right) \cdot\left(\mathrm{e}^{4 i t}+2+\mathrm{e}^{-4 \mathrm{i} t}\right) \\<br />&amp;\quad=\frac{1}{8 \mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{7 \mathrm{i} t}+2 \mathrm{e}^{3 i t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}-2 \mathrm{e}^{-3 i t}-\mathrm{e}^{-7 \mathrm{i} t}\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Rückumwandlung der komplex konjugierten Terme</p>


<p>Schreiben Sie</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\sin (3 t) \cos ^{2}(2 t)<br />\]</p>
<p>sowohl als Polynom in $ \sin t $ und $ \cos t $ als auch als Linearkombination von $ \sin (k t) $ und $ \cos (k t) $</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Trigonometrische Funktionen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Funktionen - Trigonometrische Funktionen | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: