Stetigkeit

Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten

Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

Hyperbel und Areafunktionen

Trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion, Logarithmus

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Kosinus und Sinus spezieller Winkel

<p>betrache zu Winkeln \( \varphi \) entsprechende Zahlen \(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}=\cos \varphi+\mathrm{i} \sin \varphi\) (Formel von Euler-Moivre) auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene</p>


<p>betrache zu Winkeln <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varphi " style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-442-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g 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<p>\[<br />\pi / 8=(0+\pi / 4) / 2  \quad \Rightarrow </p>
<p>\[<br /> e^{\mathrm{i} \pi / 8} \| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot 0}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi / 4}=1+(1+\mathrm{i}) / \sqrt{2}<br />\]</p>


<p>Normierung \( \left(\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}\right|=1\right) \)</p>


<p>Normierung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}\right|=1\right) " style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.411ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 4601.6 1199" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-445-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-445-TEX-S4-2223" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-445-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-445-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-445-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-445-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-445-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-445-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-445-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mo"><svg width="278" height="1172.1" y="-336.1" x="27.5" viewBox="0 -145.2 278 1172.1"><use data-c="2223" xlink:href="#MJX-445-TEX-S4-2223" transform="scale(1,1.76)"></use></svg></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(333,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="65" xlink:href="#MJX-445-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(477,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="69" xlink:href="#MJX-445-TEX-N-69"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-445-TEX-I-1D711"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1519,0)"><svg width="278" height="1172.1" y="-336.1" x="27.5" viewBox="0 -145.2 278 1172.1"><use data-c="2223" xlink:href="#MJX-445-TEX-S4-2223" transform="scale(1,1.76)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2587.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-445-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3643.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-445-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4143.6,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-445-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi / 8}=\frac{1+1 / \sqrt{2}+\mathrm{i} / \sqrt{2}}{\sqrt{(1+1 / \sqrt{2})^{2}+(1 / \sqrt{2})^{2}}}<br />\]</p>


<p>Vereinfachung der Wurzel im Nenner</p>


<p>\[<br />\text { Nenner }=\sqrt{1+2 / \sqrt{2}+1 / 2+1 / 2}=\sqrt{2} \sqrt{1+1 / \sqrt{2}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\cos (\pi / 8)=\operatorname{Re} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi / 8}=\frac{1+1 / \sqrt{2}}{\text { Nenner }}=\frac{\sqrt{1+1 / \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}<br />\]</p>


<p>Analog folgt: \( \sin (\pi / 8)=\operatorname{Im} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi / 8} \)</p>
<p>bzw. alternativ:</p>
<p>\[<br />\sin (\pi / 8)=\sqrt{1-\cos ^{2}(\pi / 8)}=\sqrt{1-(2+\sqrt{2}) / 4}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}<br />\]</p>


<p>Erweitern mit \( \sqrt{2-\sqrt{2}} \) und dritte binomische Formel</p>


<p>Erweitern mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sqrt{2-\sqrt{2}} " style="vertical-align: -0.231ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.266ex" height="2.851ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1158 4095.4 1260" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-452-TEX-SO-221A" d="M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 1013 844T1020 832V826L741 243Q645 43 540 -176Q479 -303 469 -324T453 -348Q449 -350 436 -350L424 -349L315 -96Q206 156 205 156L171 130Q138 104 137 104L111 130L263 249Z"></path><path id="MJX-452-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-452-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-452-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msqrt"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-452-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-452-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(1722.4,0)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-452-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,100.5)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-452-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="60" x="853" y="840.5"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,248)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-452-TEX-SO-221A"></use></g><rect width="3075.4" height="60" x="1020" y="1038"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> und dritte binomische Formel</p>


<p>Finden Sie, analog zu \( \cos (\pi / 4)=\sin (\pi / 4)=\sqrt{1 / 2} \), explizite Ausdrücke für \( \cos (\pi / 8), \sin (\pi / 8) \) und \( \tan (\pi / 8) \)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Trigonometrische Funktionen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Funktionen - Trigonometrische Funktionen | Aufgabe mit Lösung

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