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Aufgabenstellung:

Beim Fallschirmspringen gilt unter der Annahme, dass der Luftwiderstand der Fallgeschwindigkeit proportional ist , d. h. , das folgende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:

Dabei ist Masse des Fallschirmspringers incl. Fallschirm; Erdbeschleunigung; Reibungsfaktor, abhängig von den äußeren Umweltbedingungen.

  1. Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Fallschirmspringer?
    Annahme: Der Sprung erfolgt aus großer Höhe, der Fallschirmspringer ist also lange unterwegs.
  2. Skizzieren Sie das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz.
  3. Nach welcher Zeit wird die halbe Endgeschwindigkeit erreicht?

Lösungsweg:

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Wir ersetzen zunächst im Exponenten und beachten dabei, dass ist:

a) Endgeschwindigkeit

Die streng monoton fallende e-Funktion besitzt für große Fallzeiten vernachlässigbar kleine Werte. Bei (theoretisch) unendlich langer Fallzeit erreicht der Fallschirmspringer folgende Endgeschwindigkeit:

Dieses Ergebnis ist physikalisch gesehen einleuchtend: Die Endgeschwindigkeit wird erreicht, wenn der Fallschirmspringer kräftefrei fällt. Dies aber ist genau dann der Fall, wenn Gewicht und der entgegen wirkende Luftwiderstand sich gerade kompensieren:

b) Skizzieren vom Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz in ,neuer Schreibweise"

mit und

Skizze

Abbildung

c) Zeit bis zur halben Endgeschwindigkeit

Setze und löse nach auf

Nutze ggf. die Rechenregeln:

Nutze

Nutze

Lösung:

  2. Siehe Musterlösung