Stetigkeit

Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten

Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

Hyperbel und Areafunktionen

Trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion, Logarithmus

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

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y=\frac{1}{3} \cdot \lg x-0,0264, \quad x > 0
" style="vertical-align: -1.602ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="29.457ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 13020 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1934-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path 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<p>Zunächst bringen wir die Funktion auf eine , günstigere" Form:</p>


<p>Rechenregeln: \( \quad a^{m+n}=a^{m} \cdot a^{n} ; \quad a^{n} \cdot b^{n}=(a \cdot b)^{n} \)</p>


<p>Rechenregeln: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \quad a^{m+n}=a^{m} \cdot a^{n} ; \quad a^{n} \cdot b^{n}=(a \cdot b)^{n} " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="36.134ex" height="2.32ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -775.2 15971.2 1025.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1925-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-I-1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-N-3B" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 85 94 103T137 121Q202 121 202 8Q202 -44 183 -94T144 -169T118 -194Q115 -194 106 -186T95 -174Q94 -171 107 -155T137 -107T160 -38Q161 -32 162 -22T165 -4T165 4Q165 5 161 4T142 0Q110 0 94 18T78 60Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1925-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1000,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(878,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1656,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3485,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4540.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D45A"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5995.9,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6496.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7532.3,0)"><use data-c="3B" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-3B"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(7810.3,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(8977,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10235.5,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(10735.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(462,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11949.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13005.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(13394.5,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14145.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(14646,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(15075,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1925-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1925-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align}<br />y&amp;=3 \underbrace{\cdot 2^{3 x+1}}_{2^{3 x} \cdot 2^{1}} \cdot \underbrace{5^{3 x}-1}_{5^{3 x} \cdot 5^{-1}}\\\\<br />&amp;=3 \cdot 2^{3 x} \cdot 2^{1} \cdot 5^{3 x} \cdot 5^{-1} \\\\<br />&amp;=3 \cdot 2 \cdot 5^{-1} \underbrace{\cdot 2^{3 x} \cdot 5^{3 x}}_{(2 \cdot 5)^{3 x}} \\\\<br />&amp;=\frac{6}{5}(2 \cdot 5)^{3 x} \\\\<br />&amp;=1,2 \cdot 10^{3 x}<br />\end{align}</p>


<p>Es handelt sich also um eine streng monoton wachsende Exponentialfunktion, die bekanntlich umkehrbar ist!</p>


<p>Wir lösen die Funktionsgleichung nun nach \( x \) auf, indem wir beide Seiten logarithmieren (Zehnerlogarithmus verwenden).</p>


<p>Wir lösen die Funktionsgleichung nun nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1927-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1927-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf, indem wir beide Seiten logarithmieren (Zehnerlogarithmus verwenden).</p>


<p>Rechenregeln: \( \lg (a \cdot b)=\lg a+\lg b ; \quad \lg a^{n}=n \cdot \lg a ; \quad \lg 10=1 \)</p>


<p>Rechenregeln: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \lg (a \cdot b)=\lg a+\lg b ; \quad \lg a^{n}=n \cdot \lg a ; \quad \lg 10=1 " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="48.457ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 21417.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1928-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1928-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 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<p>\begin{align} <br />\Rightarrow \lg y&amp;=\lg \left(1,2 \cdot 10^{3 x}\right) \\<br />&amp;=\lg 1,2+\lg 10^{3 x} \\<br />&amp;=\lg 1,2+3 x \cdot \lg 10\\<br />&amp;=\lg 1,2+3 x \cdot 1 \\<br />&amp;=\lg 1,2+3 x<br />\end{align}</p>


<p>\[\Rightarrow 3 x=\lg y-\lg 1,2 \quad \mid: 3 \]</p>


<p>\begin{align}<br />\Rightarrow x&amp;=\frac{1}{3} \cdot \lg y-\frac{1}{3} \cdot \lg 1,2 \\<br />&amp;=\frac{1}{3} \cdot \lg y-0,0264<br />\end{align}</p>


<p>Durch Vertauschen der beiden Variablen erhalten wir schließlich die gesuchte Umkehrfunktion:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
y=\frac{1}{3} \cdot \lg x-0,0264, \quad x > 0
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<p>Zeigen Sie: Die Funktion \( y=3 \cdot 2^{3 x+1} \cdot 5^{3 x-1}, \quad-\infty &lt; x &lt; \infty \) ist umkehrbar.</p>
<p>Wie lautet die Umkehrfunktion?</p>

<p>Zeigen Sie: Die Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" y=3 \cdot 2^{3 x+1} \cdot 5^{3 x-1}, \quad-\infty < x < \infty " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="35.565ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 15719.6 1038.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1924-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 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<p>Wie lautet die Umkehrfunktion?</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Exponentialfunktion, Logarithmus mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Funktionen - Exponentialfunktion, Logarithmus | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: