schubspannung

Querkraftschub

Biegelinie

Flächenträgheitsmomente

Normalspannungen

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\( z=-0,7696 ~y, \ \sigma_{x}=-566,7 \mathrm{MPa}\)</li>
<li>\(I_{1}=67,11 \mathrm{~cm}^{4}, \ I_{2}=7,69 \mathrm{~cm}^{4}, \ \phi_{1}=37,89^{\circ}\)</li>
</ol>

<p>a) Spannung in Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1206-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-1206-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align}<br />1-\frac{I_{y z}^{2}}{I_{y} I_{z}}=1-\frac{28,80^{2}}{44,7 \cdot 30,1}=0,3835 <br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\bar{M}_{y}&amp;=\frac{M_{y}-M_{z} I_{y z} / I_{z}}{1-I_{y z}^{2} /\left(I_{y} I_{z}\right)}\\\\<br />&amp;\Rightarrow \bar{M}_{y}=\frac{4-28,80 / 30,10}{0,3835} \mathrm{~kNm}=\frac{3,043}{0,3835} \mathrm{~kNm}=7,935 \mathrm{~kNm} <br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\bar{M}_{z}&amp;=\frac{M_{z}-M_{y} I_{y z} / I_{y}}{1-I_{y z}^{2} /\left(I_{y} I_{z}\right)} \\\\<br />&amp;\Rightarrow \bar{M}_{z}=\frac{1-4 \cdot 28,80 / 44,70}{0,3835} \mathrm{~kNm}=\frac{-1,577}{0,3835} \mathrm{~kNm}=-4,112 \mathrm{~kNm} <br />\end{align}</p>


<p>Spannung im Punkt \( A \) mit \(\sigma_{x}=\frac{\bar{M}_{y}}{I_{y}} z_{A}-\frac{\bar{M}_{z}}{I_{z}} y_{A}\) berechnen:</p>


<p>Spannung im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1211-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-1211-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sigma_{x}=\frac{\bar{M}_{y}}{I_{y}} z_{A}-\frac{\bar{M}_{z}}{I_{z}} y_{A}" style="vertical-align: -1.252ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.554ex" height="3.988ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1209 8642.8 1762.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1212-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-1212-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 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190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path><path id="MJX-1212-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path><path id="MJX-1212-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1212-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 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46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-1212-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1336.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1212-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2392,0)"><g data-mml-node="msub" transform="translate(220,548.6) scale(0.707)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D440"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(629,244) translate(-250 0)"><use data-c="AF" xlink:href="#MJX-1212-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1003,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(407.4,-345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><rect width="1189.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3821.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(498,-152.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D434"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5122.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1212-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6122.4,0)"><g data-mml-node="msub" transform="translate(220,451.6) scale(0.707)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D440"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(629,244) translate(-250 0)"><use data-c="AF" xlink:href="#MJX-1212-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1003,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D467"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(407.4,-345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D467"></use></g></g></g><rect width="1177.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(7539.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-152.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-1212-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> berechnen:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />y_{A}&amp;=-\frac{s}{2}=-2,5 \mathrm{~mm} \\\\<br />z_{A}&amp;=-\frac{h}{2}=-30 \mathrm{~mm} \\\\\\<br />\frac{\bar{M}_{y}}{I_{y}}&amp;=\frac{7,935 \cdot 10^{6} \mathrm{~Nmm}}{44,7 \cdot 10^{4} \mathrm{~mm}^{4}}=17,75 \frac{\mathrm{MPa}}{\mathrm{mm}} \\\\<br />\frac{M_{z}}{I_{z}}&amp;=\frac{-4,112 \cdot 10^{6} \mathrm{~Nmm}}{30,1 \cdot 10^{4} \mathrm{~mm}^{4}}=-13,66 \frac{\mathrm{MPa}}{\mathrm{mm}}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\begin{align}<br />\Rightarrow \sigma_{x}&amp;=-17,75 \frac{\mathrm{MPa}}{\mathrm{mm}} \cdot 30 \mathrm{~mm}-13,66 \frac{\mathrm{MPa}}{\mathrm{mm}} \cdot 2,5 \mathrm{~mm} \\\\<br />&amp;=-566,7 \mathrm{MPa}<br />\end{align}</p>


<p>\[\frac{I_{y}+I_{z}}{2}=\frac{44,7+30,1}{2} \mathrm{~cm}^{4}=37,4 \mathrm{~cm}^{4}\]</p>
<p>\[<br />\sqrt{\left(\frac{I_{y}-I_{z}}{2}\right)^{2}+I_{\mathrm{y}}^{2}}=\sqrt{7,3^{2}+28,8^{2}} \mathrm{~cm}^{4}=\sqrt{882,7} \mathrm{~cm}^{4}=29,71 \mathrm{~cm}^{4}<br />\]</p>


<p>\[\tan \left(2 \phi_{H}\right)=\frac{2 I_{y z}}{I_{y}-I_{z}}=\frac{28,80}{7,3}=3,945 \quad  \Rightarrow \phi_{H}=37,89^{\circ}\]</p>
<p>\[<br />I_{y}&gt;0 \quad \Rightarrow \phi_{1}=37,89^{\circ}<br />\]</p>


<p>Richtung der \( 1 . \) Hauptachse:</p>


<p>Richtung der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 1 . " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.76ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 778 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1219-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1219-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1219-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-1219-TEX-N-2E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Hauptachse:</p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />\tan \left(2 \phi_{H}\right)=\frac{2 I_{y z}}{I_{y}-I_{z}}=\frac{28,80}{7,3}=3,945 \rightarrow \phi_{H}=37,89^{\circ} \\<br />I_{y z} &gt; 0 \rightarrow \phi_{1}=37,89^{\circ}<br />\end{array}<br />\]</p>


<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Das abgebildete Z-Profil wird durch die Biegemomente \( M_{v} \) und \( M_{z} \) belastet.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Geben Sie die Gleichung der Nulllinie an und bestimmen Sie die Spannung \( \sigma_{x} \) im Punkt \( A . \)</li>
<li>Bestimmen Sie die Hauptträgheitsmomente \( I_{1} \) und \( I_{2} \) und geben Sie die Richtung \( \phi_{1} \) der 1. Hauptachse an.</li>
<li>Überprüren Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe b) mit dem Mohrschen Trägheitskreis \(\left(1 \mathrm{~cm} \triangleq 10 \mathrm{~cm}^{4}\right)\).</li>
</ol>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602fa31b2fe7b3a4e586fd5d.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>
<p><strong>Gegeben: </strong></p>
<p>\( M_{y}=4 \mathrm{kNm}, \ M_{z}=1 \mathrm{kNm}\)<br />\(h=60 \mathrm{~mm}, \ b=45 \mathrm{~mm}, \ s=5 \mathrm{~mm}, \ t=6 \mathrm{~mm}, \ A=7,91 \mathrm{~cm}^{2} \) <br />\(I_{y}=44,70 \mathrm{~cm}^{4},\ I_{z}=30,10 \mathrm{~cm}^{4},\  I_{y z}=28,80 \mathrm{~cm}^{4}\)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Flächenträgheitsmomente mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Balken - Flächenträgheitsmomente | Aufgabe mit Lösung

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